Читайте также:
|
|
Периодический сигнал с периодом Т, который описывается некоторой функцией у(х), отвечающей условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье:
,
где а0/2- постоянная составляющая;
ak, bk- коэффициенты ряда Фурье.
Коэффициенты определяются для абсолютно интегрируемой на отрезке [-p; p] функции у(х) по формулам Эйлера-Фурье:
;
.
В приведенных выражениях х может иметь размерность времени(t).
Часто, особенно в радиотехнических расчетах, периодические сигналы представляются как функции времени y(t) на отрезке [0, T] с периодом Т=1/f1, где f1-частота первой гармоники периодического сигнала. В этом случае ряд Фурье представляется в виде:
,
где ;
.
В этом случае коэффициенты ak и bk описывают косинусную и синусную составляющие k-ой гармоники сигнала с периодом Т и частотой f1=1/T.
Часто используется иная форма ряда Фурье (особенно при синтезе различных сигналов):
,
или при использовании общепринятых обозначений:
,
где - постоянная составляющая сигнала;
xk=Ak- амплитуда k-й гармоники;
k- номер гармоники;
;
- частота k-й гармоники;
jk- фаза k-й гармоники.
Как видно из выражений, периодический сигнал y(t) представляется как сумма бесконечно большого числа гармонических составляющих с амплитудами xk, частотами fk и фазами jk.
Разложение функции на гармонические составляющие, то есть вычисление коэффициентов Фурье, называется гармоническим или спектральным анализом. Воссоздание функции, представленной рядом Фурье, называют спектральным синтезом.
Гармонику с k=1 называют основной или первой гармоникой сигнала. Она задает его частоту повторения f1. Остальные гармоники называют высшими из частных. Они определяются как fk=k×f1, k=2, 3, 4, …
Таким образом, спектр периодических сигналов, представимых рядом Фурье, дискретный, то есть он содержит набор фиксированных частот fk, где k=1, 2, 3,…. Для непериодических сигналов спектр будет сплошным.
Определение: совокупность величин xk есть спектр амплитуд, совокупность величин jk- спектр фаз.
При анализе реальных процессов xk можно определить как:
.
На рис. 37 представлены примеры некоторых периодических сигналов и их спектров.
Рис. 37. Примеры некоторых периодических сигналов и их спектров: а – для гармонического процесса; б – для полигармонического процесса (сумма 4-х синусоид)
Для анализа дискретных сигналов в частотной области используют дискретное преобразование Фурье.
При дискретизации времени непрерывный сигнал x(t) преобразуется в последовательность дискретных выборок (рис. 38).
Рис. 38. Пример дискретизация времени: а – непрерывный сигнал; б – последовательность дискретных выборок
Если выборки осуществляются регулярно через интервал времени Т0, то получается последовательность xn(iT0), где i=0, 1, 2,…,N-1. Общая длительность сигнала T=N×T0.
Полагают, что функции xn(iT0) и Sn(RDf) связаны парой дискретного преобразования Фурье (ПДФ):
— прямого:
;
— и обратного:
.
При этом T0Df=1/N.
Так же по аналогии с интегралом Фурье записывают дискретные преобразования в виде:
;
,
где ;
x(i)=xn(iT0)- i-я выборка последовательности значений сигнала.
Это выражения часто используют при построении алгоритмов обработки дискретных сигналов.
Однако, вычисления, проводимые при выполнении ДПФ, довольно громоздки; они требуют примерно N2 арифметических операций. Для ускорения преобразования разработаны специальные алгоритмы, значительно сокращающие объем и продолжительность вычислительных операций. Эти алгоритмы называют БПФ.
К спектральным характеристикам, используемым на практике, относятся также текущий и мгновенный спектры. Согласно выражению:
,
для каждого спектра сигнала x(t) необходимо выполнить интегрирование по времени в бесконечных пределах. Но реальные физические процессы обычно исследуются в течение конечного времени, и, следовательно, интегрирование ведется в пределах от момента начала наблюдения до данного, текущего момента t.
Тогда спектр примет вид:
.
Функция S(w, t) является функцией не только частоты, но и времени и называется текущим спектром.
Это понятие важно для теории и техники анализа спектра. Дело в том, что периодичность процесса проявляется лишь за достаточно большое время,– по крайней мере, за несколько периодов (рис. 39).
Рис. 39.
В течение же небольшой части периода характерные черты процесса вырисоваться не успевают. Спектр короткого отрезка процесса– сплошной, так как этот отрезок по существу является коротким импульсом (рис. 40). Переход к линейчатому спектру происходит лишь в пределе, когда t®µ (строго теоретически); на практике оказывается достаточной при условии t=nT (n>>1).
Рис. 40.
Мгновенный спектр описывается функцией:
,
и определяется как спектр отрезка сигнала длительностью Т, непосредственно предшествующего данному моменту t. В частности, мгновенный спектр нужно рассматривать как разность двух текущих спектров, то есть как приращение текущего спектра за интервал времени Т.
,
где S(w, t)- текущий спектр.
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 76 | Нарушение авторских прав