Проведение кривых через экспериментальные точки

Через экспериментальные точки всегда следует проводить самую простую кривую, совместимую с этими точками, т.е. кривую, от которой экспериментальные данные отступают, как правило (в 2/3 случаев), не более чем на стандартную ошибку. Примеры таких кривых и изображены на рисунке. Не следует придавать кривым никаких изгибов, если экспериментальным данным, в пределах ошибок, можно удовлетворить и без этого.

При проведении кривой нужно следить за тем, чтобы на каждом достаточно большом ее участке экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой. Так, на рис. а левая часть кривой изображена верно, а правая – неверно, т.к. ни одна из точек графика не лежит выше этой части кривой.

Математическое правило проведения кривых заключается в следующем. После того как тип кривой (прямая, окружность, парабола, и т.д.) из тех или иных соображений (чаще всего теоретических) выбран, параметры кривой должны быть подобраны так, чтобы сумма квадратов отклонения от нее всех экспериментальных точек была наименьшей (правило «наименьших квадратов»). Пользоваться этим правилом при графическом изображении экспериментальных зависимостей затруднительно, но при некотором опыте графические изображения данных измерений оказываются практически оптимальными.

При графической обработке результатов следует помнить, что на глаз точно провести через экспериментальные точки можно только прямую линию. Поэтому при построении графика следует стремиться к тому, чтобы ожидаемая зависимость имела вид прямой линии.

Так, исследуя закон падения тел, мы вправе ожидать, что результаты будут описываться законом S = gt²/2. Если откладывать по осям графика S и t, то точки лягут на параболу, которую провести на глаз почти невозможно. Но если откладывать по осям S и t², или S и gt²/2, то график приобретет вид прямой линии. Одно из этих представлений и должно быть выбрано для построения графика.

Производя измерения, всегда следует заботиться о том, чтобы точки на графике, который потом будет построен, располагались достаточно равномерно. В нашем примере, решив, например, строить график в переменных S и t², следует выбирать время измерений так, чтобы точки лежали на равных расстояниях в шкале t², а не t. Выбор равных интервалов времени (0,5; 1; 1,5; 2 с. и т.д.) приведет к тому, что в правой части графика точки будут лежать редко, а в левой части - слишком близко друг к другу.

К логарифмическому масштабу без особой необходимости прибегать не следует.

Одна из наиболее часто встречающихся погрешностей опыта - смещение нуля отсчета - приводит к сильному искажению прямолинейного характера кривой. В самом деле, пусть из-за смещения линейки вместо длин S на опыте будет найдено S₁ = S + а где, а - постоянная для всех точек ошибка. Формула, связывающая измеренную длину и время, в этом случае будет иметь вид S_t = (gt²/2) + а. В координатах S и t² эта зависимость изображается прямой линией, которая на этот раз не проходит через начало координат. По смещению прямой мы легко заметим ошибку и даже найдем ее величину. А в переменных lgS и lgt кривая теряет прямолинейный вид, и будет нелегко сообразить, где же вкралась ошибка.

Бывают, однако, случаи, когда логарифмический масштаб необходим. Это происходит, например, если исследуемая величина очень сильно изменяется, причем одновременно интересны очень малые и очень большие ее значения. Логарифмический масштаб позволяет все точки уместить на одном чертеже и исследовать совместно. Логарифмический масштаб выбирают и в том случае, если имеются основания ожидать, что искомая зависимость является степенной, но показатель степени неизвестен.

Дата добавления: 2015-07-10