Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год	Параметры
1 семестр
Промежуточный	Зачет	1 семестр	Зачетная работа в письменной форме на 150 мин. Итоговая оценка за зачет складывается из зачетной работы и домашнего задания; при этом результат зачетной работы является блокирующим
Итоговый	Экзамен	2 семестр	Экзаменационная работа в письменной форме на 150 мин. Итоговая оценка за экзамен складывается из экзаменационной работы, аудиторной контрольной работы и домашнего задания; при этом результат экзаменационной работы является блокирующим

Критерии оценки знаний, навыков

Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные на лекциях и семинарских занятиях.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Итоговая оценка успеваемости слушателя складывается после сдачи экзамена за второй семестр, в котором изучаются основы теории вероятности и математической статистики. В итоговой оценке результат зачета (или незачета) за первый семестр учитывается с определенным весом

Содержание дисциплины

Раздел I. Системы линейных уравнений. Матрицы и действия над ними

Тема 1. Системы линейных уравнений

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей. Крамеровские системы. Формулы Крамера.

Литература:

основная: [1], гл. 1; §§ 1.2-1.3; гл. 2; §§ 2.1-2.7).

дополнительная: [7], гл. 3-4; §§ 3.0-4.5); [8], отделы I-II; §§ 1-3

Тема 2. Матрицы и действия над ними

Понятие матрицы. Операция транспонирования. Линейные операции: сложение матриц и умножение матрицы на число. Умножение матриц. Свойства операций над матрицами. Определитель произведения матриц. Присоединенная матрица. Обратная матрица; способы ее нахождения. Простейшие матричные уравнения.

Литература:

основная: [1], гл. 3; §§ 3.1-3.7;

дополнительная: [8], отдел III; § 12.

Раздел II. Линейные пространства

Тема 3. Основные понятия

Аксиоматическое определение и простейшие свойства линейного пространства. Арифметическое (координатное) пространство векторов-столбцов. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов; их простейшие свойства. Максимальная линейно независимая подсистема. Эквивалентные конечные системы векторов. Основная теорема о линейной зависимости векторов и ее следствие об эквивалентных линейно независимых системах векторов. Базис и ранг системы векторов.

Литература:

основная: [1], гл. 4; §§ 4.1-4.3;

дополнительная: [6], гл. I; § 1.

Тема 4. Базис и размерность пространства

Базис и размерность пространства. Разложение произвольного вектора по базису. Координаты вектора в базисе; координатный столбец вектора в базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису. Изоморфизм линейных пространств.

Литература:

основная: [1], гл. 4; §§ 4.4-4.7;

дополнительная: [6], гл. I; § 1.

Тема 5. Линейные подпространства

Определение и простейшие свойства линейного подпространства. Линейная оболочка системы векторов. Теорема о дополнении базиса подпространства до базиса пространства. Связь между подпространствами и однородными системами линейных уравнений. Общие уравнения подпространства..

Литература:

основная: [1], гл. 4; §§ 4.8-4.11;

дополнительная: [6], гл. I; § 1.

Раздел III. Линейные операторы в линейных пространствах

Тема 6. Линейные операторы в линейных пространствах

Определение и простейшие свойства линейного оператора. Теорема об однозначном определении линейного оператора образами базисных векторов. Матрица линейного оператора в паре базисов. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора. Их простейшие свойства. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Подобные матрицы. Действия с линейными операторами. Пространство линейных операторов и его размерность.

Литература:

основная: [1], гл. 5; §§ 5.1-5.5;

дополнительная: [6], гл. II; § 9.

Тема 7. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Собственное значение как корень характеристического многочлена линейного оператора. Собственное подпространство линейного оператора. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.

Литература:

основная: [1], гл. 5; §§ 5.6-5.8;

дополнительная: [6], гл. II; § 10.

Раздел IV. Теория пределов

Тема 8. Числовые последовательности и числовые ряды

Ограниченные числовые множества. Существование верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества. Принцип Больцано-Вейерштрасса. Определение и свойства предела числовой последовательности. Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Критерий Коши. Критерий существования предела монотонной последовательности. Число e. Подпоследовательность и частичный предел последовательности. Числовой ряд и его сумма. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Простейшие признаки сходимости рядов.

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Тема 9. Предел функции одного вещественного переменного

Конечный предел функции в точке. Свойства предела функции. Критерий Коши. Предел композиции функций. Первый замечательный предел. Другие типы пределов. Предел монотонной функции. Второй замечательный предел.

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Раздел V. Непрерывные и дифференцируемые функции одного и нескольких переменных

Тема 10. Непрерывные функции одной переменной

Непрерывность функции в точке и на множестве. Примеры разрывных функций одной вещественной переменной. Классификация разрывов. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций одного переменного (в т. ч. теоремы Больцано - Коши и Вейерштрасса.). Монотонность. Обратная функция.

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Тема 11. Дифференцируемые функции одной переменной

Дифференцируемая функция в точке. Дифференциал в точке. Соотношение между непрерывностью и дифференцируемостью Определение производной. Примеры вычисления производной функций вещественного переменного. Дифференцирование сложной функции. Производная обратной функции. Дифференцирование неявно заданной функции. Производные высших порядков. Примеры. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула и ряд Тейлора.. Оценка остаточного члена. Примеры. Необходимое условие экстремума и достаточное условие экстремума. Классификация критических точек. Пример Коши (ненулевая функция, все производные которой в начале координат равны нулю).

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Тема 12. Непрерывность и дифференцируемость функции нескольких переменных

Открытые и замкнутые множества в Rⁿ. Компактность в Rⁿ. Свойства компактных множеств. Непрерывные функции ; их свойства. Определение дифференцируемой в точке функции (отображения) . Производное отображение в точке (дифференциал в точке). Матрица Якоби . Частные производные как элементы матрицы Якоби. Замена переменных. Суперпозиция отображений и произведение матриц Якоби. Простейшие правила дифференцирования. Координатное представление производного отображения. Теорема о среднем. Достаточное условие дифференцируемости числовой функции нескольких переменных. Производная по вектору и градиент функции в точке.

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Тема 13. Экстремумы функций многих переменных

Частные производные высшего порядка. Формула Тейлора. Высшие дифференциалы. Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Поверхность в Rⁿ. Касательное пространство. Условный экстремум и множители Лагранжа. Примеры. Необходимый признак условного экстремума. Достаточный признак условного экстремума.

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Раздел VI. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 14. Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка

Основные понятия для ДУ первого порядка. Примеры процессов, описываемых ДУ. Методы решения некоторых ДУ первого порядка.

Литература:

основная: [15], гл.1,2; §§ 1. 1-4; 2. 1-2

дополнительная: [16], гл. I; §§ 4-7.

Тема 15. ДУ высших порядков

Общие понятия и некоторые методы решений. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами.

Литература:

основная: [15], гл. 2; §§ 2.2-3.;3. 1-3

дополнительная: [16],; §§ 1-6.

Дата добавления: 2015-07-12