Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Постановка вариационных задач. Необходимые условия экстремума.

Читайте также:
  1. Hарушение условия кругового ожидания
  2. III. УСЛОВИЯ И СРОКИ ПРОВЕДЕНИЯ КОНКУРСА
  3. IV. Требования к условиям реализации основной образовательной программы начального общего образования
  4. IV. ТРЕБОВАНИЯ К УЧАСТНИКАМ И ИХ УСЛОВИЯ ДОПУСКА
  5. TESTS 1. Вставьте вместо пропусков необходимые слова.
  6. V. УСЛОВИЯ И ФОРМЫ ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ МЕЖДУНАРОДНОЙ ПОМОЩИ
  7. VI. Порядок и условия проведения

Вариационное исчисление является одним из основных методов современного естествознания. Свое начало берет от классического результата Я. Бурнулли (1696), решившего задачу о брахистохроне, так называемой кривой наискорейшего спуска.

Классическое вариационное исчисление посвящено анализу условий экстремума интегрального функционала

На некотором множестве G функций x(t), определенных и дифференцируемых на некотором множестве Ω С Rn, со значениями на множестве R. Множество G определяется обычно дополнительными оговорками или условиями; множество Ω как правило связно и имеет связную внутренность.

Рассмотрим простейшую задачу классического вариационного исчисления:

Задача о брахистохроне:

Найти функцию x0(t), минимизирующую функционал

на множестве функций x(t), принадлежащих классу гладкости C1[a,b], удовлетворяющих

Необходимые условия

Условие Эйлера - Пуассона

Пусть задан функционал

Если функция x дает экстремум на G то она является решением уравнения Эйлера – Пуассона

дополненное краевыми условиями

--------------------------------------------------------------------------------

Условие Эйлера

Пусть задан функционал

Если функция x дает экстремум на G то она является решением уравнения Эйлера

Где

дополненное краевыми условиями

 

Условие ДюБуа – Раймонда

Пусть то интеграла

Где функция А достаточно регулярна и G={xЄC1[a,b]: x(a)=A, x(b)=B}, тогда x_0(t) удовлетворяет уравнению Эйлера

 

Условие Лежандра:

На множестве G={xЄC1[a,b]: x(a)=A, x(b)=B} задан функционал

Пусть , тогда Если же то

 


1. 1. При условиях ; исследовать на экстремум функционал

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть задан функционал

Если функция x дает экстремум на G то она является решением уравнения Эйлера

Где

дополненное краевыми условиями

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Решение

Составим уравнение Эйлера:

Используем краевые условия:

Отсюда

Получаем

- допустимая экстремаль

 

1. 2.

Среди всех функций класса , удовлетворяющих граничным условиям ; , найти такую, которая реализует экстремум функционала

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть задан функционал

Если функция x дает экстремум на G то она является решением уравнения Эйлера – Пуассона

дополненное краевыми условиями

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Решение

Используем уравнение Эйлера – Пуассона

32y-2y(4)=0

y(4)-16y=0

k4-16=0

k1=2, k2=-2, k3=2i, k4=-2i

y(x)=C1e2x+ C2e-2x+C3cos2x+C4sin2x

Подставим краевые условия

y(0)=C1+ C2+C3=0

y(π)=C1e+ C2e-2π+C3=0

y’(x)=2C1e2x-2C2e-2x-2C3sin2x+2C4cos2x

y’(0)=2C1-2C2+2C4=1

y’(π)=2C1e-2C2e-2π+2C4=1

Из этой системы найдем С1, C2, C3, C4.

С1=0, C2=0, C3=1/2, C4=0.

y(x)=1/2sin2x

 


1. 3.

При условиях ; ; ; . Найти экстремали функционала .

 

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть задан функционал

Функция x дает экстремум на G если она является решением системы Эйлера

дополненное краевыми условиями

-----------------------------------------------------------------------------------------------

 

 

Fx=0, Fx’­=2x’

Fy=2y, Fy=2y’

x=C1t+C2

y=C3et+C4e-t

Используем краевые условия

C1=1, C2=0

 

C3=1/(e2-1), C4=e2/(1-e2)

 

 


Дата добавления: 2015-07-12; просмотров: 119 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Задание к лабораторной работы| Вариационные задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)