Комплексные числа

С понятием множества многие из вас хорошо знакомы из школьного курса математики. Вам известно, что понятие множества является первичным в математике и через другие понятия не определяется; что множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита, а элементы множества малыми буквами; над множествами можно осуществлять операции объединения, пересечения и вычитания. Те кому, это необходимо, могут повторить (изучить) основные сведения по теории множеств, используя, [1], стр. 5 -7 или [2], стр. 9-13 (смотрите список литературы, рекомендуемой для подготовки к экзамену).

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Как правило, при изучении математики в школе, ограничиваются использованием следующих числовых множеств:

- множество натуральных чисел;

- множество целых чисел;

- множество рациональных чисел;

R – множество действительных или вещественных чисел,

Множество действительных чисел R, чаще всего, вводится либо как множество бесконечных десятичных дробей [2], стр.13-27, либо как некоторая совокупность, где определены взаимосвязанные операции сложения, умножения, сравнения чисел по величине и которые обладают определенного рода непрерывностью [1], стр. 16-33. С формальной точки зрения оба подхода одинаковы, так как если число является действительным по первому определению, то оно действительно и по второму определению, и наоборот. Доказательство этого факто изложено в [2], стр. 27-28. С философской точки зрения более приемлемым является второй подход, так как числа – абстракции, выражающие количественные отношения реального мира, а десятичные дроби – символы, их представляющие. С другими подходами к определению действительного числа можно ознакомиться в Математической энциклопедии, т.2, стр. 74-78.

Рассмотренные выше множества связаны соотношениями:

. (1)

Однако, для практических приложений этих множеств недостаточно. Рассмотрим простейшее квадратное уравнение: . Как известно, дискриминант этого уравнения . И, следовательно, на множестве действительных чисел данное уравнение решений не имеет.

Если ввести число , называемое мнимой единицей и обладающее свойством:

, (2)

то дискриминант рассматриваемого выше уравнения можно представить в виде: . Это позволит представить решение рассматриваемого уравнения в виде: .

Решения уравнения представляют собой числа новой структуры, которые называются комплексными числами. Таким образом, мы имеем еще одно множество чисел. Введем определение этого множества с учетом сложившейся системы обозначений.

Определение 1. Множество чисел называется множеством комплексных чисел.

Обозначение:

Для каждой части комплексного числа используется специальное название и обозначение:

- действительная часть комплексного числа z,

- мнимая часть комплексного числа z,

(от латинских слов: realis – действительный, imaginarius – мнимый).

Допускается запись комплексных чисел и в виде: . Очевидно, что

. (3)

Заметим, что - действительное число, - чисто мнимое число, .

При введении любого множества сначала определяют, какие элементы этого множества считаются равными.

Определение 2. Комплексные числа и называются равными, если т.е. если у них совпадают действительные и мнимые части.

Обозначение: .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Определение 3. Суммой комплексных чисел и называется число z, определяемое по правилу: .

Обозначение: или

. (4)

Пример 1. Если , то

.

Определение 4. Разностью комплексных чисел и называется число z, такое что .

Обозначение: .

Теорема 1. Если , то

. (5)

Доказательство. Пусть является разностью чисел и .

Тогда из определения разности (смотрите определение 4) следует, что . Из определения суммы (смотрите определение 3) следует, что , учитывая, что это число должно быть равно числу , получаем систему Решая систему, получаем нужный результат: Что и требовалось доказать.

Пример 2. Если , то

.

Определение 5. Произведением комплексных чисел и называется число z, определяемое по правилу: .

Обозначение: или

. (6)

Определение 6. Частным от деления комплексного числа на комплексное число называется число z, такое что .

Обозначение: .

Теорема 2. Если , где ; то

. (7)

Доказательство. Пусть - частное отделениячисла на число . Тогда, по определению частного (смотрите определение 6), следует, что . Из правила умножения комплексных чисел (смотрите определение 5) следует, что . Так как это число должно быть равно , получаем систему:

(8)

Умножая первое уравнение системы (8) на , а второе уравнение на (это позволит уравнять коэффициенты при неизвестной х), получим систему (9):

(9)

Вычитая из второго уравнения системы (9) первое уравнение, имеем:

, , .

Для определения неизвестной х, умножаем первое уравнение системы (8) на , а второе уравнение на , получаем систему (10):

(10)

Складывая уравнения системы (10), имеем:

, , .

Теорема доказана.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами.

Теорема 3. Для любых :

1) - коммутативность;

2) - ассоциативность;

3) - коммутативность;

4) - ассоциативность;

5) - дистрибутивность.

Доказательство (проведите самостоятельно).

Данные свойства аналогичны свойствам операций сложения и умножения на множестве действительных чисел, поэтому на множестве комплексных чисел остаются справедливыми все правила проведения тождественных преобразований и формулы сокращенного умножения, справедливые на множестве действительных чисел.

Это дает возможность при проведении расчетов с комплексными числами не использовать формулы (6) и (7) для определения произведения и частного комплексных чисел, а рассматривать их как биномы (двучлены) и применять, привычные правила раскрытия скобок и приведения подобных членов, учитывая, что , , ….

В частности, практические правила определения произведения и частного выглядят так. Если , то

Пример 3. Если , то

Определение 7. Комплексное число называют комплексным числом, сопряженным числу .

Обозначение: или

. (11)

Следовательно, чтобы определить частное от деления на (), достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное .

Определение 8. Модулем комплексного числа называется число, определяемое по правилу .

Обозначение: или

. (12)

Теорема 3. Для любого комплексного числа

. (13)

Доказательство. .

Рассмотренная форма записи комплексного числа называется алгебраической формой записи комплексного числа. А приведенные выше формулы (4) – (7) для выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел называются правилами выполнения действий над комплексными числами, представленными в алгебраической форме.

Заметим, что каждому комплексному числу можно поставить в соответствие пару чисел и наоборот. Это дает возможность для следующих двух вариантов геометрической интерпретации комплексных чисел.

1 способ (как точки координатной плоскости). Зафиксируем на плоскости прямоугольную систему координат, обозначив начало координат О, а оси соответственно ОХ и ОУ (рисунок 1). Каждому комплексному числу поставим в соответствие точку Р с координатами (рисунок 2). Получающаяся в этом случае плоскость называется комплексной плоскостью, ось ОХ –действительной осью, ось ОУ – мнимой осью.

Рисунок 1 – Прямоугольная система Рисунок 2 – Изображение числа z

координат в виде точки

Пример 4. Изобразить на комплексной плоскости числа , , , .

Согласно правилу числам необходимо поставить в соответствие точки . Результат представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Изображение чисел Рисунок 4 – Изображение числа z

в виде радиус-вектора точки

2 способ (в виде радиус-вектора точки). В этом случае, зафиксировав на плоскости прямоугольную систему координат (рисунок 1), каждому комплексному числу ставят в соответствие вектор , т.е. радиус-вектор точки (рисунок 4).

Заметим, что модуль вектора по величине равен , т.е. модулю комплексного числа . Вводя обозначение:

, (14)

получаем:

. (15)

Рисунок 5 – Аргумент z Рисунок 6 - Треугольники

Определение 9. Угол (рисунок 5), образованный радиус-вектором () с положительным направлением оси ОХ(точнее угол поворота положительного направления оси ОХ до совмещения с радиус-вектором ), называется аргументом числа z). Положительным считается направление обхода против хода часовой стрелки/

Обозначение: .

Для аргумент не определяется. Так как для аргумент можно определить лишь с точностью до , то выделяют главное значение аргумента , как правило, это значения , хотя встречаются ситуации, когда выбирают .

Обозначение:

Очевидно, что

(16)

Пусть у комплексного числа . Для получения связи между и рассмотрим сначала случай, когда , т.е. когда радиус-вектор располагается в первой четверти.

Рассматривая треугольники OLP и OPM (рисунок 6), где L – основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось ОY, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось ОХ, и учитывая, что , как накрест лежащие при параллельных прямых, получаем:

; .

Аналогичные результаты будут иметь место и для остальных значений j (проверить самостоятельно).

Следовательно, для любого комплексного числа , имеют место соотношения (17):

(17)

где r определяется по формуле (15),

(18)

Используя формулы (17), получаем, что

.

Определение 9. Представление комплексного числа в виде , где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа z.

Пример 5. Представить число комплексное число в тригонометрической форме.

На практике, как правило, применяются два алгоритма: аналитический или геометрический (графический).

1 способ (аналитический). В этом случае сначала определяют модуль комплексного числа: ; затем, используя формулы (18) определяют . С помощью которых однозначно определяется главное значение аргумента из промежутка : . Это означает, что .

Заметим, что найдя модуль комплексного числа , его можно было преобразовать так: , откуда сразу следует, что , и нет необходимости использовать формулы (18).

2 способ (геометрический). Отмечаем на комплексной плоскости точку P (1;1) и радиус-вектор (рисунок 7).

Рисунок 7 – Геометрическая Рисунок 8 – Треугольники

интерпретация числа

Обозначив точкой L основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось OY, точкой М – основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось ОХ, получим квадрат OLPM со стороной 1. Длина диагонали ОР квадрата, равна модулю вектора , и, следовательно, модуль комплексного числа равен длине диагонали квадрата, т.е. . Главное значение аргумента числа совпадает с величиной угла , а угол между диагональю квадрата и стороной квадрата равен , следовательно, . Таким образом,

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел упрощает вид формул для выполнения операций умножения, деления и возведения в степень.

Теорема 4. Если , где , то

1) ; (19)

2) ; (20)

3) (21)

Доказательство. Формулы (19) и (20) легко доказать, используя правила выполнения соответствующих операций для чисел, представленных алгебраической форме.

1)

2)

Формула (21) доказывается методом математической индукции. Суть этого алгоритма заключается в следующем: на первом шаге проверяется основание для проведения индукции, т.е. справедливость утверждения при n = 2; на втором шаге выдвигается предположение о справедливости утверждения при n = k; на третьем шаге, с учетом выдвинутого предположения, доказывается справедливость утверждения при n = k + 1.

При доказательстве формулы (21) алгоритм реализуется следующим образом.

1 шаг. При , используя формулу (19), получаем:

,

т.е. формула (21) остается верной.

2 шаг. Предположим, что формула верна при , т.е.

.

3 шаг. При

т.е. формула сохраняет свой вид, следовательно, утверждение – верно.

Пример 6. Если , , то

Следствие 1. Если , где , то

1) ; (22)

2) ; (24)

3) ; (25)

4) ; (26)

5) ; (27)

6) . (28)

Очевидно, что равенства (26) – (28) следует рассматривать с точки зрения равенства множеств или с точностью до . Формулы (22) и (24) с помощью метода математической индукции можно обобщить для любого числа множителей и делителей. Из (21) следует еще одна интересная формула, называемая формулой Муавра.

Следствие 2 (формула Муавра)

. (29)

Определение 10. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число , такое что .

Обозначение: .

Теорема 5. Для любого комплексного числа z , представленного в тригонометрической форме , где , существует ровно n корней n -й степени, которые могут быть определены по формуле:

, (30)

где - арифметическое значение корня, к последовательно принимает значения .

Доказательство. Пусть число является корнем n -й степени из числа z и в тригонометрической форме имеет вид: , где . Тогда, .

Так как , получаем, что

Откуда следует, что , причем корень понимается в арифметическом смысле – как неотрицательное действительное число, так как по определению модуля комплексного числа ; .

Представив в виде ; нетрудно заметить, что, при , получаются различные комплексные числа, которые для удобства обозначим (в соответствии с выбираемым значением к).

;

; ….,

.

Числа, получающиеся при остальных значениях к, будут совпадать с одним из уже полученных чисел , так аргументы этих чисел будут отличаться от аргументов выписанных чисел на число, кратное . В частности,

.

Самостоятельно проверьте, , .

В общем случае, при имеем:

Что и является доказательством данного утверждения. Теорема доказана.

Замечание. Из последней фразы доказательства теоремы 5 видно, что при использовании формулы (30) вместо набора можно брать любой набор из n подряд расположенных целых чисел. Например, или .

На комплексной плоскости корни n -й степени из комплексного числа , где , располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса , с центром в начале координат, угол поворота от одного числа к другому равен .

Пример 7. Найти и изобразить на комплексной плоскости .

Решение. Число . Для перехода к тригонометрической форме воспользуемся геометрическим методом. Построив вектор (рисунок 9), нетрудно заметить, что , главное значение аргумента .

Рисунок 9 – Геометрическая интерпретация Рисунок 10 –Расположение корней числа 1

Следовательно, . Применяя формулу (30), получаем:

, , т.е.

На комплексной плоскости данные числа располагаются в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 1 (рисунок 10).

Помимо тригонометрической формы записи в некоторых приложениях используется показательная форма записи комплексного числа, которая основа на использовании формулы Эйлера:

. (31)

Число , где , в этом случае может быть представлено так:

, (32)

это и есть показательная форма записи комплексного числа z.

Правила выполнения операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня в этом случае приобретают вид.

Теорема 6. Если , то

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Существует также матричное представление комплексных чисел. С этой интерпретацией можно ознакомиться по математической энциклопедии.

---

Дата добавления: 2015-07-12