9. 
;
1) f (x) = x 2 – 2; 2) f (x) = 5 xe-3x ; 3) f (x) = xe-3x sin 3 x.
10. Материальная точка движется по прямой со скоростью, а) прямо пропорциональной, б) обратно пропорциональной пройденному пути 
с коэффициентом пропорциональности 
. Согласно механическому смыслу производной скорость материальной точки представляет собой первую производную функции по переменной 
: 
. В начальный момент времени материальная точка имела скорость υ0 = 4 м/с и находилась на расстоянии 6 метров от начала отсчёта пути, то есть 
и 
м/с. Составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение величины пути от времени . Определить пройденный путь и скорость тела (рассмотреть случаи а) и б)) через 15 секунд после начала движения.
11. 
Вариант 21
1. 
.
2. (1 + x) dy – (1 + y 2) dx = 0.
3. y 3 dy + (3 xy2 + 2 x 3) dx = 0.
4. e-ydx + (y – xe-y) dy = 0.
5. 
.
6. y (
) = π.
7. 
.
8. y (0) = 10, 
.
9. 
;
1) f (x) = x + 10; 2) f (x) = (x 2 + 1) ex ; 3) f (x) = ex cos 3 x.
10. В рамках некоторого экономического процесса предполагают, что доход 
, полученный к моменту времени определённой отраслью, является суммой инвестиций 
и величины потребления 
, = + . Предполагают, что произведение скорости увеличения дохода на коэффициент капиталоёмкости прироста дохода 
пропорционально величине инвестиций, т.е. 
. Напомним, что под капиталоёмкостью понимают показатель, характеризующий отношение основного капитала к произведённой в соответствующий период продукции или её части – чистому доходу, прибыли. Капиталоёмким считается производство, где наибольший удельный вес в полных издержках продукции имеет амортизационная составляющая. Найти функцию дохода 
, если известно, что величина потребления задаётся функцией 
; коэффициент капиталоёмкости прироста дохода 
, 
.
11. 
Вариант 22
1. 
.
2. x dy = – y dx.
3. (x2 + y 2) y dy + 2xy2 dx = 0.
4. e5xy dx + (
e5x + y 2 + 1) dy = 0.
5. 
.
6. y (1) = 6.
7. 
.
8. y (0) = 3, 
.
9. 
;
1) f (x) = 2 x 3 + 3 x + 5; 2) f (x) = 3 xe5x ; 3) f (x) = 2 xe-2x sin x.
10. Пусть задана некоторая кривая 
. Для произвольной точки 
на данной кривой может быть задано уравнение касательной. Из геометрического смысла производной известно, что угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке 
(т.е. 
). Каждая касательная к этой кривой пересекает прямую 
в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. Располагая условиями задачи, составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая и найти . Найти конкретную кривую , если известно, что она проходит через точку 
.
11. 
Вариант 23
1. 
.
2. x dy – 
dx = 0.
3. (x – y) dy – y dx = 0.
4. (3 x 2 y + 5y + 1) dx + (x 3 + 5 x + y) dy = 0.
5. 
.
6. y (
) = 
π e.
7. 
.
8. y (0) = 6, 
.
9. 
;
1) f (x) = 2 x 3 + 3 x 2 + 1; 2) f (x) = (7 x + 5) e 2 x ; 3) f (x) = xe2x sin x.
10. Пусть 
скорость грузового судна в момент времени . Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела 
на его ускорение 
равно силе 
, действующей на грузовое судно (
). Отметим, что ускорением тела называют первую производную его скорости по времени, то есть 
. Судно замедляет своё движение под действием сопротивления воды , которое пропорционально его скорости с коэффициентом пропорциональности 
. Напомним, что сила направлена против движения (на уменьшение скорости): 
. Найти закон изменения скорости как функции времени; найти 
, если 
(м/сек.).
11. 
Вариант 24
1. 
.
2. y (1 + x 2) dy = (1+ y 2) dx.
3. 
.
4. (2 xe y + y) dx + (x 2 ey +x + y 2) dy = 0.
5. 
y sin x = e cos x .
6. y (0) = e.
7. 
.
8. y (0) = 2, 
.
9. 
;
1) f (x) = 7 x 2 + 5 x + 3; 2) f (x) = (x + 7) e4x ; 3) f (x) = xe-3x cos x.
10. Пусть задана некоторая кривая . Для произвольной точки на данной кривой может быть задано уравнение касательной. Из геометрического смысла производной известно, что угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке (то есть ). Каждая касательная к этой кривой пересекает прямую в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. Располагая условиями задачи составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая и найти . Найти конкретную кривую , если известно, что она проходит через точку 
.
11. 
Вариант 25
1. 
.
2. x dy – y dx = 0.
3. (x 2 – y 2) 
= 2 xy.
4. (sin y + x) dx + (x cos y + y) dy = 0.
5. 
.
6. y (0) = 1.
7. 
.
8. y (0) = 2, 
.
9. 
;
1) f (x) = 5 x 2 + 2 x + 4; 2) f (x) = 2 x2e-2x ; 3) f (x) = e3x sin 5 x.
10. Под темпом изменения функции понимают относительную скорость изменения функции, которая определяется её логарифмической производной: 
. Аналитиками была найдена формула темпа изменения производительности труда: 
. Пусть 
представляет собой производительность труда в момент времени . Найти закон изменения производительности труда , если при 
она составляет 1 усл.ед.
11. 
Вариант 26
1. 
.
2. dy = y tg x dx.
3. x dx + y dy = x dy – y dx.
4. (3 x 2 + 6 xy 2 + 1) dx + (6 x 2 y + y) dy = 0.
5. 
.
6. y (0) = 4.
7. 
.
8. y (0) = 7, 
.
9. 
;
1) f (x) = 3 x + 5; 2) f (x) = (5 x + 2) ex ; 3) f (x) = e2x cos 7 x.
10. В экономической теории эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Известно, что эластичность 
вычисляется по формуле 
. Показатель эластичности функции спроса 
относительно переменной 
показывает, на сколько процентов изменится при изменении цены на 1%. Известно, что спрос считают эластичным относительно цены , если 
. Если 
, то спрос не эластичен относительно цены. Говорят о спросе с единичной эластичностью, если 
. Найти функцию спроса 
, если эластичность спроса относительно цены составляет 
и 
.
11. 
Вариант 27
1. 
.
2. (x 2 + 1) dy – y dx = 0.
3. 
.
4. (x 3 + 3 xy 2 + y) dx + (y 2 + 3 x 2 y + x) dy = 0.
5. 
.
6. y (0) = 2.
7. 
.
8. y (0) = 4, 
.
9. 
;
1) f (x) = 4 x 2 + 3; 2) f (x) = x 2 e5x ; 3) f (x) = (x + 1) e2x sin x.
10. Согласно закону Ньютона скорость 
охлаждения тела пропорциональна разности температур 
и (соответственно тела и окружающей среды): 
, где 
время охлаждения, 
коэффициент пропорциональности. В среду с постоянной температурой 250С поместили тело, нагретое до 1000С. Через 15 минут температура понизилась до 700С. Через какое время температура тела станет равной 450С?
11. 
Вариант 28
1. 
.
2. dy = y dx.
3. (y – x) dy + (x + y) dx = 0.
4. (3 x 2 + 6 xy 2 + x) dx + (6 x 2 y + y 2 – 5) dy = 0.
5. 
.
6. y () = 2.
7. 
.
8. y (0) = 1, .
9. 
;
1) f (x) = 3 x 3 + 2 x 2 + 3; 2) f (x) = (2 x +5) e-4x ; 3) f (x) = xex cos 5 x.
10. Скорость размножения некоторого вида грибов пропорциональна их количеству, имеющемуся в наличии в рассматриваемый момент времени t с коэффициентом пропорциональности . Из смысла производной скорость размножения грибов есть производная их количества по времени. В результате экспериментального опыта было обнаружено, что за шесть часов количество грибов увеличилось в три раза. Известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный (t=0) количество грибов составляло 
. Найти зависимость между количеством грибов 
и временем . Определить закон рассматриваемого процесса.
11. 
Вариант 29
1. 
.
2. dy + y cos x dx = 0.
3. 4 xy dy = – y 2 dx.
4. (x 3 + 2 xy 2 + 1) dx + (2 x 2 y + y 3 + 2 y) dy = 0.
5. 
.
6. y () = 1.
7. 
.
8. y (0) = 4, .
9. 
;
1) f (x) = 2 x 2 + 3 x + 7; 2) f (x) = (x + 10) e4x ; 3) f (x) = ex sin 4 x.
10. Ускорение поезда, начальная скорость которого равна 
25 м/с, представляет собой частное силы тяги и массы поезда . Отметим, что ускорением тела называют первую производную его скорости по времени, то есть . Сила тяги локомотива равна 
, где 
скорость локомотива в момент . Определить зависимость силы тяги поезда от времени , если его масса 
.
11. 
Вариант 30
1. 
.
2. dy = – x 2 y dx.
3. x dy + (x + y) dx = 0.
4. 
.
5. 
.
6. y (0) = 2.
7. 
.
8. y (0) = 10, .
9. 
;
1) f (x) = 5 x 3 + 2 x + 3; 2) f (x) = x 2 e4x ; 3) f (x) = 2 xe -4 x cos 3 x.
10. Скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени. Предполагается, что скорость изменения количества населения прямо пропорциональна наличному его количеству с коэффициентом пропорциональности . Найти зависимость между количеством населения и временем , если известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный, количество населения составляло 
, а через год население увеличилось на %. В рамках данного допущения найти предполагаемое количество населения страны через 30 лет, зная что в 2001 г. оно составляло 130 миллионов человек, а прирост населения составил 
.
11. 
Оглавление
Введение........................................................................................................................3
Общие понятия о дифференциальных уравнениях....................................................4
1. Дифференциальные уравнения первого порядка..................................................5
2. Дифференциальные уравнения с разделёнными и
разделяющимися переменными...................................................................................8
3. Однородные дифференциальные уравнения.......................................................10
4. Уравнения в полных дифференциалах.................................................................12
5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка..............................14
6. Дифференциальные уравнения второго порядка................................................18
7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами................................................................22
8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами................................................................24
9. Решение прикладных задач с помощью дифференциальных
уравнений.....................................................................................................................32
10. Системы дифференциальных уравнений...........................................................44
11. Системы линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами...........................................................47
Контрольные задания.................................................................................................62
Учебное издание
Михаил Филиппович Тиунчик
Юлия Геннадьевна Саяпина
ПРАКТИКУМ ПО ДИФФЕНРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Учебное пособие
Редактор Г.С. Одинцова
Подписано в печать Формат 60 х 84 / 16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл.п.л. 5,3. Уч.-изд.л. 3,8. Тираж 225 экз. Заказ № |
680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ
Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 30 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |