Министерство образования и науки Российской Федерации 7 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 9Следующая ⇒

11.

Вариант 9

1. y dy = – x dx.

2. (1 + x ²) dy + xy dx = 0.

3. .

4. (2 xy – ln y) dx + (x ² + 1 – ) dy = 0.

5. .

6. y (0) = 5.

7. .

8. y (0) = 1, .

9. ;

1) f (x) = 3 x ² + 1; 2) f (x) = xe ^{2 x}; 3) f (x) = e^-x sin 2 x.

10. Скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени. Предполагается, что скорость изменения количества населения прямо пропорциональна наличному его количеству с коэффициентом пропорциональности . Найти зависимость между количеством населения и временем , если известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный, количество населения составляло , а через год население увеличилось на %. В рамках данного допущения найти предполагаемое количество населения страны через 20 лет, зная что в 2002 г. оно составляло 145 миллионов человек, а прирост населения составил .

11.

Вариант 10

1. .

2. .

3. (2 y + x) dy + (x + 2 y) dx = 0.

4. (2 xy ² + 6 xy + 2 x) dx + (2 x ² y + 3 x ² – 2 y) dy = 0.

5. .

6. y (2) = 1.

7. .

8. y (0) = 5, .

9. ;

1) f (x) = 5 x ² + 3 x + 2; 2) f (x) = xe ^{7 x}; 3) f (x) = xe^2x sin x.

10. Быстрота прироста (скорость размножения) некоторых видов бактерий пропорциональна их количеству, имеющемуся в наличии в рассматриваемый момент времени t с коэффициентом пропорциональности . Из смысла производной скорость размножения некоторых бактерий есть первая производная их количества по времени. В результате экспериментального опыта было обнаружено, что за пять часов количество бактерий увеличилось в четыре раза. Известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный (t=0) количество бактерий составляло . Найти зависимость между количеством бактерий и временем . Определить закон рассматриваемого процесса.

11.

Вариант 11

1. .

2. .

3. .

4. (3 x ² y ² + y) dx + (2 x ³ y + x) dy = 0.

5. .

6. y (0) = 1.

7. .

8. y (0) = 6, .

9. ;

1) f (x) = 3 x ³ + 1; 2) f (x) = (x + 5) e ^{-3 x}; 3) f (x) = e^3x sin 2 x.

10. Пусть число жителей региона в момент . Из статистических данных известно, что для некоторого рассматриваемого региона число новорождённых и число умерших за единицу времени пропорционально численности населения с коэффициентами пропорциональности 2 и 1,4 соответственно. В связи с этим прирост населения за промежуток времени будет прямо пропорционален числу жителей в момент времени с коэффициентом пропорциональности . Из смысла производной известно, что скорость изменения числа жителей региона (прирост населения) представляет собой производную функции . Найти закон изменения численности населения с течением времени, если .

11.

Вариант 12

1. .

2. ctg x dy = tg y dx.

3. .

4. (3 x ²+ y ² + 1) dx + (2 xy + 2 y) dy = 0.

5. .

6. y (0) = 5.

7. .

8. y (0) = 9, .

9. ;

1) f (x) = x; 2) f (x) = x ² e ^{2 x}; 3) f (x) = xe^3x sin x.

10. В экономике спрос обычно рассматривают как представленную на рынке товаров потребность в товарах и услугах, равную величине имеющихся у населения денежных средств. Закон предложения – это закономерность, которая устанавливает связь между изменением цены и соответствующим изменением объёма предложения товара. Опытным путём установлены функции спроса и предложения , , где и количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени. Предполагая, что спрос и предложение некоторого товара уравновешиваются для всех , найти функцию равновесной цены товара в момент времени , если (у.е.).

11.

Вариант 13

1. .

2. dy + y dx = 0.

3. (y ² + 2 xy – x ²) dy + (x ² + 2 xy – y ²) dx = 0.

4. e^xy dx + (e^x + y ² + 5) dy = 0.

5. .

6. y (1) = 4.

7. .

8. y (0) = 1, .

9. ;

1) f (x) = 2 x ² + 3; 2) f (x) = x ² e ^{5 x}; 3) f (x) = xe^2x cos 5 x.

10. Под «политической мобилизацией» понимается вовлечение людей в политическую партию или в ряды её сторонников, участие в каком-либо общественном движении. Принимая во внимание, что текущий уровень мобилизации тесно связан с прошлым уровнем, аналитиками был сделан следующий вывод: скорость прироста представляет собой разность между количеством вовлечённых и количеством выбывших (где коэффициент успешности агитационной кампании, коэффициент выбытия (разочаровавшихся)). Найти функцию , если коэффициенты успешности и выбытия агитационной кампании составляют и , а .

11.

Вариант 14

1. .

2. .

3. (x ² + y ²) dy + xy dx = 0.

4. .

5. .

6. y (1) = .

7. .

8. y (0) = 7, .

9. ;

1) f (x) = 2 x ³ + 7; 2) f (x) = xe ^{- x}; 3) f (x) = xe^3x cos 3 x.

10. Материальная точка движется по прямой со скоростью, а) прямо пропорциональной, б) обратно пропорциональной пройденному пути с коэффициентом пропорциональности . Согласно механическому смыслу производной скорость материальной точки представляет собой первую производную функции по переменной : . В начальный момент времени материальная точка имела скорость υ₀= 4 м/с и находилась на расстоянии 4 метра от начала отсчёта пути, то есть и м/с. Составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение величины пути от времени . Определить пройденный путь и скорость тела (рассмотреть случаи а) и б)) через 1,5 секунды после начала движения.

11.

Вариант 15

1. .

2. .

3. .

4. (x ² + 3 xy ² + 4) dx + (3 x ² y + y) dy = 0.

5. .

6. y (1) = 2.

7. .

8. y (0) = 2, .

9. ;

1) f (x) = x + 8; 2) f (x) = x ² e ^{2 x}; 3) f (x) = xe^2x sin 2 x.

10. Выпуск продукции некоторого предприятия является функцией переменной времени . Скорость увеличения выпуска продукции () является возрастающей функцией дохода. Составить уравнение, связывающее скорость изменения выпуска продукции и доход от продажи выпуска по цене , если известно, что скорость прямо пропорциональна доходу с коэффициентом пропорциональности . Здесь доход от продажи выпуска продукции. Предполагается, что с увеличением выпуска будет проходить насыщение рынка и цена товара будет падать. Известно, что функция цены товара определяется как . Найти величину выпуска продукции при условии, что .

11.

Вариант 16

1. .

2. x ² dy = – y ² dx.

3. (5 y + 7 x) dy + (8 y + 10 x) dx = 0.

4. (4 xy – ln y) dx + (2 x ² y – ) dy = 0.

5. .

6. y () = .

7. .

8. y (0) = 6, .

9. ;

1) f (x) = 5 x + 1; 2) f (x) = x ² e^x ; 3) f (x) = xe^3x cos x.

10. В экономике спрос обычно рассматривают как представленную на рынке товаров потребность в товарах и услугах, равную величине имеющихся у населения денежных средств. Закон предложения – это закономерность, которая устанавливает связь между изменением цены и соответствующим изменением объёма предложения товара. Опытным путём установлены функции спроса и предложения , , где и количества товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени. Предполагая, что спрос и предложение некоторого товара уравновешиваются для всех , найти функцию равновесной цены товара в момент времени , если (у.е.).

11.

Вариант 17

1. .

2. dy – 2 y dx = 0.

3. .

4. (3 x ² y ² + 2 xy) dx + (2 x ³ y + x ²) dy = 0.

5. .

6. y (0) = 1.

7. .

8. y (0) = 1, .

9. ;

1) f (x) = 7 x ² + 2; 2) f (x) = x ² e^3x ; 3) f (x) = e^3x sin 4 x.

10. В экономике спрос обычно рассматривают как представленную на рынке товаров потребность в товарах и услугах, равную величине имеющихся у населения денежных средств. Закон предложения – это закономерность, которая устанавливает связь между изменением цены и соответствующим изменением объёма предложения товара. Опытным путём установлены функции спроса и предложения , , где и количества товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени. Предполагая, что спрос и предложение некоторого товара уравновешиваются для всех , найти функцию равновесной цены товара в момент времени , если (у.е.).

11.

Вариант 18

1. .

2. dy = – y sin x dx.

3. (x ³ + y ³) dx – xy ² dy = 0.

4. .

5. .

6. y (0) = 1.

7. .

8. y (0) = 1, .

9. ;

1) f (x) = 4 x ² + 8; 2) f (x) = x ² e^3x ; 3) f (x) = e^x sin 2 x.

10. В экономической теории эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Известно, что эластичность вычисляется по формуле . Показатель эластичности функции относительно переменной показывает, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%. Известно, что спрос считают эластичным относительно цены , если . Если , то спрос не эластичен относительно цены. Говорят о спросе с единичной эластичностью, если . Найти функцию спроса , если эластичность спроса относительно цены составляет и .

11.

Вариант 19

1. .

2. dy + x ² y dx = 0.

3. (2 x – y) dy + (x +y)dx = 0.

4. 2 xe^ydx + (x ² e^y + 1) dy = 0.

5. .

6. y (0) = 4.

7. .

8. y (0) = 2, .

9. ;

1) f (x) = 3 x + 8; 2) f (x) = 2 xe^-x ; 3) f (x) = xe^5x cos x.

10. Под темпом изменения функции понимают относительную скорость изменения функции, которая определяется её логарифмической производной: . Аналитиками была найдена формула темпа изменения производительности труда: . Пусть представляет собой производительность труда в момент времени . Найти закон изменения производительности труда , если при она составляет 3 усл.ед.