Министерство образования и науки Российской Федерации 2 страница

при этом С(х) подлежит найти.

4. Функцию (5.11) дифференцируют, а затем её и её производную подставляют в уравнение (5.1).

5. После этих действий получится следующее уравнение для нахождения С(х):

.

6. Из последнего дифференциального уравнения находится путём разделения переменных неизвестная функция С(х):

. (5.12)

7. Функция (5.12) подставляется в равенство (5.11). Получится общее решение неоднородного уравнения (5.1) в виде (5.8).

Ещё раз отметим, что в конкретных примерах нецелесообразно применять громоздкую и трудно запоминающуюся формулу (5.8). Обычно каждый раз повторяют все действия приведённого алгоритма.

Заметим также, что метод Бернулли и метод Лагранжа приводят к одному и тому же результату (5.8).

Метод вариации позволяет выявить структуру общего решения неоднородного уравнения (5.1). Из формулы (5.8) видно, что общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (5.1) равно сумме общего решения соответствующего приведённого однородного уравнения, которое имеет вид (5.10), и частного решения самого неоднородного уравнения (5.1), получающегося из его общего решения (5.8) при С = 0.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Соответствующее приведённое однородное дифференциальное уравнение имеет следующий вид: . Разделяя переменные, имеем . Интегрируем это равенство: , (С₁ > 0). Потенцируя и учитывая потерянное решение у ≡ 0, получаем . Полагая , находим y′ = C′ . Подставим выражение для и в исходное уравнение:

С′(х) ∙ sin x + C(x) ∙ cos x – C(х) ∙ sin x ∙ ctg x = – sin² x,

,

,

C(x) = cos x + C,

где С – произвольная постоянная.

Следовательно, общее решение таково:

y = C ∙ sin x + sin x ∙ cos x.

Пример. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения предыдущего примера с начальным условием

.

Решение. Так как общее решение этого дифференциального уравнения

у = (cos x + C) ∙ sin x,

то . С другой стороны, по условию примера, . Следовательно, С = 1. Таким образом, частное решение дифференциального уравнения таково: у = (1 + cos x) ∙ sin x.

6 Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка представляет собой

F(x, y, y′, y ′′) = 0, (6.1)

где F – известная функция четырёх переменных, т.е. соотношение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию y = y (x), её первую и вторую производные. Уравнение второго порядка обязательно должно содержать вторую производную неизвестной функции.

Более простым для изучения является частный случай уравнения (6.1), т.е. уравнение вида

y ′′ = f (x, y, y ′). (6.2)

Уравнение (6.2) называется уравнением, разрешённым относительно производной высшего порядка у′′, где f – конкретная функция трёх переменных.

Дифференциальное уравнение второго порядка так же, как и уравнение первого порядка, имеет бесконечное множество решений. Поясним это на примере дифференциального уравнения второго порядка

y ′′ = f (x),

где f (x) – известная непрерывная функция на некотором промежутке. Для нахождения неизвестной функции у (x) надо последовательно два раза взять неопределённые интегралы:

,

,

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, F₁(x) – какая-то одна первообразная функции f (x), а F₂(x) – некоторая из первообразных функции F₁(x). Придавая в последнем равенстве постоянным С₁ и С₂ независимо друг от друга различные числовые значения, будем получать отдельные решения этого простейшего уравнения.

Рассмотрим ещё более конкретный пример, а именно уравнение y′′ = 2 x. Интегрируя его последовательно два раза, получаем следующее:

,

.

Решение последнего вида будем называть общим решением или общим интегралом. Каждое отдельное решение (при конкретных постоянных С₁ и С₂) называется частным решением. Всякое частное решение изображается на плоскости кривой, которую называют интегральной. Общее решение даёт семейство интегральных кривых на плоскости.

В общем случае решения уравнения вида (6.1) или (6.2) можно записать в виде

y = y (x, C₁, C₂), (6.3)

или

Ф(x, y, C₁, C₂) = 0. (6.4)

Общее выражение решений дифференциального уравнения второго порядка, записанное в виде (6.3) или (6.4), в которое входят две не зависящие друг от друга произвольные постоянные С₁ и С₂, называется общим решением или общим интегралом дифференциального уравнения. При этом общее решение, полученное в виде (6.3), называется явным. Вид же (6.4), где Ф – некоторая конкретная функция четырёх переменных, называется неявным видом решения.

В конкретных прикладных задачах (геометрических, физических, технических, экономических и т.д.) постоянные С₁ и С₂ должны определиться, т.к. обычно ответ должен быть один. Так как общее решение содержит две произвольные постоянные, то для его нахождения, кроме дифференциального уравнения, нужно иметь два дополнительных условия. При этом различают краевые задачи и задачи с начальными условиями.

Условия

у (х ₀) = у ₀₀, у ′(х ₀) = у ₀₁, (6.5)

где х ₀ – некоторая фиксированная точка промежутка, на котором рассматривается дифференциальное уравнение, а у ₀₀, у ₀₁ – заданные числа, называются начальными условиями для уравнения второго порядка.

Задача нахождения решения уравнения (6.1) или (6.2) при выполнении условий (6.5) называется задачей Коши или задачей с начальными условиями.

Всякое решение уравнения второго порядка при условиях (6.5) называется частным решением, а график частного решения – интегральной кривой.

Возникает вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши. Сформулируем теорему, ограничившись случаем уравнения (6.2).

Пусть правая часть f (x, y, y ′) уравнения (6.2) как функция трёх переменных x, y, y ′ удовлетворяет следующим двум условиям:

1) непрерывна в некоторой области D, содержащей точку (x ₀, y ₀₀, y ₀₁), являющуюся внутренней для D;

2) имеет непрерывные частные производные по аргументам у и у ′ в области D.

Тогда найдётся такое положительное число δ, что на отрезке [ x ₀ – δ, x ₀ + δ] из промежутка, на котором рассматривается уравнение (6.2), решение задачи (6.2), (6.5) существует и единственно.

Допустимыми начальными условиями для дифференциального уравнения второго порядка назовём те тройки чисел х ₀, у ₀₀ и у ₀₁, для которых существует единственное решение задачи Коши.

Теперь дадим более «точное» определение общего решения дифференциального уравнения второго порядка.

Дважды непрерывно дифференцируемая функция вида (6.3), содержащая две произвольные постоянные, называется общим решением (общим интегралом) уравнения (6.1) или (6.2), если выполняются следующие два условия:

1) при фиксированных С₁ и С₂ эта функция является решением соответствующего уравнения;

2) каковы бы ни были начальные условия (6.5), найдутся такие конкретные числа С₁ и С₂, что функция (6.3) будет удовлетворять этим условиям.

Таким образом, из формулы общего решения в виде (6.3) или (6.4) при конкретном подборе числовых значений постоянных С₁ и С₂ должно получиться единственное решение, определяемое допустимыми начальными условиями (6.5).

Покажем на примере, как находятся постоянные С₁ и С₂. Найдём частное решение уравнения у ′′ = 2 х при начальных условиях у (0) = 2, у ′(0) = 5. Так как общее решение в явном виде задаётся функцией и у ′ = х ² + С₁, то у (0) = С₂, а у ′(0) = С₁. Учитывая заданные начальные условия, получаем, что С₂ = 2, С₁ = 5. Подставив эти значения в выражение для общего решения, получим частное решение .

Числовые значения постоянных С₁ и С₂ при начальных условиях (6.5) в случае, если общее решение уравнения имеет явный вид (6.3), находятся из системы уравнений

(6.6)

Пусть дифференциальное уравнение (6.1) или (6.2) рассматривается на отрезке [ a, b]. Тогда условия

у (a) = d ₁, y (b) = d ₂, (6.7)

где d ₁ и d ₂ – заданные числа, называются краевыми для дифференциального уравнения второго порядка.

Краевая задача также может иметь единственное решение. В случае явного общего решения (6.3) постоянные С₁ и С₂ найдутся из системы уравнений

(6.8)

Рассмотрим для уравнения у ′′ = 2 х на отрезке [0, 1] краевую задачу со следующими однородными условиями: у (0) = 0, у (1) = 0. Так как общее решение имеет вид , то С₁ и С₂ найдутся из системы уравнений

Тогда , С ₂ = 0. Решением этой краевой задачи является функция .

Кроме (6.7), имеются и другие виды краевых условий для дифференциальных уравнений второго порядка.

7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (7.1)

где и – некоторые постоянные.

Многочлен вида

называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение

=0 (7.2)

называется характеристическим уравнением уравнения (7.1).

Если в уравнении (7.2) коэффициенты и – действительные числа и – его различные действительные корни, то функции образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (7.1) и его общее решение имеет вид

, (7.3)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение таково: . Корнями характеристического уравнения являются числа и . Фундаментальную систему решений образуют функции . Таким образом, общим решением является функция .

Если в уравнении (7.1) коэффициенты и – действительные числа, а уравнение (7.2) имеет действительный корень кратности 2, то фундаментальная система решений уравнения (7.1) состоит из функций и общее решение дифференциального уравнения (7.1) таково:

, (7.4)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение таково: , откуда . Уравнение имеет действительный корень кратности 2. Фундаментальную систему решений образуют функции . Таким образом, общим решением будет функция .

Если в уравнении (7.1) коэффициенты и – действительные числа и уравнение (7.2) имеет комплексно – сопряжённые корни (β ≠ 0), то каждый корень из этой комплексной пары даёт одну и ту же фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (7.1), которая выглядит следующим образом: . Общее решение дифференциального уравнения (7.1) имеет вид

, (7.5)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Корни характеристического уравнения таковы: . Фундаментальную систему решений образуют функции . Общим решением является функция .

8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

, (8.1)

где f (x) ≠ 0. Будем его рассматривать с постоянными действительными коэффициентами p, q.

Структура общего решения неоднородного уравнения (8.1) имеет вид

, (8.2)

где – общее решение соответствующего приведённого однородного уравнения, а – какое-нибудь частное решение самого неоднородного уравнения.

Нахождение общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами описано в предыдущей теме и связано с корнями характеристического уравнения (7.2).

Рассмотрим способы нахождения частного решения неоднородного уравнения (8.1) при специальных видах правой части f (x).

Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид

f (x) = e^{σ x} P_n(x), (8.3)

где σ – некоторое действительное число, называемое контрольным числом правой части уравнения (8.1), а

P_n(x) = a ₀ + a ₁ x + … + a _n x ⁿ (8.4)

есть многочлен степени n ≥ 0 с действительными коэффициентами. При n = 0 (8.4) задаёт многочлен нулевой степени P_n(x) = a ₀ ≠ 0, который не нужно путать с так называемым нулевым многочленом – функцией, являющейся тождественным нулём.

Заметим, что при σ = 0 правая часть уравнения (8.1) будет представлять собой многочлен (8.4).

Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид (8.3). Тогда

а) если контрольное число σ не является корнем характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного уравнения, то частное решение необходимо искать в виде

у = е^{σ х} Q_n(x); (8.5)

б) если σ является простым (однократным) корнем характеристического уравнения (7.2), то частное решение находят в виде

у = х е^{σ х} Q_n(x); (8.6)

в) если σ является двукратным корнем характеристического уравнения (7.2), то частное решение надо искать в виде

у = х ²е^{σ х} Q_n(x). (8.7)

В выражениях (8.5) – (8.7) многочлен Q_n(x) есть многочлен такой же степени, что и многочлен Р_n(x), стоящий в правой части (8.3), т.е. он имеет вид

Q_n(x) = b₀ + b₁ x + … + b_n x ⁿ. (8.8)

Коэффициенты b_r (r = 0, 1,..., n) многочлена (8.8) подлежат нахождению. Это делается следующим образом. Для соответствующей ситуации функции (8.5), (8.6), (8.7) и входящие в уравнение производные подставляются в (8.1). После этого сокращают на е^{σ х} и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получится система алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов b _r многочлена (8.8). Этот способ нахождения чисел b _r называют методом неопределённых коэффициентов.

Данный вывод о нахождении частных решений уравнения (8.1) относится и к случаю σ = 0, т.е. случаю, когда правая часть f (x) этого уравнения имеет вид (8.4). Тогда в ситуациях б) и в) можно было бы поступить иначе. В ситуации б) имеем q = 0 и можно понизить порядок уравнения, применяя подстановку z = y ′. В ситуации в) имеем, что коэффициенты p и q равны нулю; тогда уравнение может быть решено интегрированием, т.к. оно имеет вид у ′′ = P_n(x).

Отметим ещё, что ситуации б) и в) приведённого вывода называются резонансными случаями.

Поясним сформулированный вывод нахождения частных решений рядом примеров.

Пример 1. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

.

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.4), т.е. имеем случай, когда в формуле (8.3) . Корни характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения таковы: и . Тогда общее решение приведённого однородного дифференциального уравнения будет: , где и – произвольные постоянные.

Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5): . После подстановки и в неоднородное уравнение получаем: . Сравнивая многочлены, получим систему для отыскания коэффициентов , :

Тогда , . Частным решением неоднородного уравнения является функция , а общее решение неоднородного уравнения таково:

.

Пример 2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

.

Решение. Правая часть этого уравнения представляет собой вид (8.4), причём многочлен является многочленом второй степени. Корни характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения таковы: и . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид , где и – произвольные постоянные.

Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5): . После подстановки и в неоднородное уравнение получаем равенство:

.

Система для отыскания коэффициентов , и будет иметь вид

Из системы находим , , . Тогда частное решение неоднородного уравнения таково: . В результате получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения .

Пример 3. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

при начальных условиях , .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой вид (8.4) с многочленом третьей степени. Корнями характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения являются числа и . Общим решением однородного уравнения будет функция , где и – произвольные постоянные.

Дата добавления: 2015-08-29