Левые и правые части этих равенств являются многочленом первой степени относительно переменной t. Приравнивая в обеих частях свободные члены и коэффициенты при t, получим следующую систему из шести линейных алгебраических уравнений с шестью неизвестными α1, β1, α2, β2, α3, β3:
β1 + 3α1 = 5α1 – 2α2 – 2α3, 3β1 = 5β1 – 2β2 – 2β3,
β2 + 3α2 = 2α1 + α2 – 2α3, 3β2 = 2β1 + β2 – 2β3,
β3 + 3α3 = 2α1 – 2α2 + α3, 3β3 = 2β1 – 2β2 + β3.
После преобразований получим систему:
β1 = 2α1 – 2α2 – 2α3, β1 = β2 + β3,
β2 = 2α1 – 2α2 – 2α3, β2 = β1 + β3,
β3 = 2α1 – 2α2 – 2α3, β3 = β1 – β2.
Из трёх уравнений правого столбца этой системы следует, что β1 = β2, β3 = 0. Полагаем β2 = С (С – произвольная постоянная), тогда и β1 = С. После этого первые три уравнения сведутся к следующим двум:
2α1 – 2α2 – 2α3 = С,
2α1 – 2α2 – 2α3 = 0.
Эта система совместна лишь в случае, когда С = 0. В этом случае будет одно уравнение
α1 – α2 – α3 = 0.
За базисную переменную можно взять α1; тогда α2 и α3 – свободные переменные. Полагаем α2 = С2, α3 = С3 (С2, С3 – произвольные постоянные); тогда α1 = С2 + С3. Кроме того, так как С = 0, то β1 = β2 = β3 = 0. Подставляем найденные коэффициенты в (11.12), получим частные решения, соответствующие двукратному корню k = 3.
Таким образом, общее решение исходной системы таково:
где 
, 
и 
– произвольные постоянные.
Пример 7. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
Решение. Характеристическое уравнение для этой системы таково:
Корнями характеристического уравнения 
являются действительные числа 
, т.е. корень k = 2 является трёхкратным.
Соответствующие этому трёхкратному корню решения надо искать в виде
x = (α1 + β1t + γ1t2)e2t,
y = (α2 + β2t + γ2t2)e2t, (11.13)
z = (α3 + β3t + γ3t2)e2t.
Для определения коэффициентов функции (11.13) и их производные подставляем в исходную систему дифференциальных уравнений. После преобразований, аналогичных предыдущему примеру, получим следующие девять алгебраических уравнений для нахождения девяти коэффициентов:
β1 = α1 + α2 – α3, 2γ1 = β1 + β2 – β3, γ1 + γ2 – γ3 = 0,
β2 = α1 – α2 + α3, 2γ2 = β1 – β2 + β3, γ1 – γ2 + γ3 = 0, (11.14)
β3 = 2α1, γ3 = β1, γ1 = 0.
Первая группа уравнений (11.14) выражает коэффициенты β1, β2, β3 через α1, α2, α3. Подставляя их во вторую группу уравнений, получим выражения γ1, γ2, γ3 через α1, α2, α3:
γ1 = 0, γ2 = α1 + α2 – α3, γ3 = α1 + α2 – α3.
Третья группа уравнений (11.14) автоматически обращается в тождество.
Ранг системы алгебраических уравнений (11.14) равен 6, а свободных переменных – три. В качестве свободных неизвестных можно взять α1, α2, α3. Пусть α1 = С1, α2 = С2, α3 = С3 (С1, С2, С3 – произвольные постоянные). Тогда базисные переменные выражаются через них следующим образом:
β1 = С1 + С2 – С3, γ1 = 0,
β2 = С1 – С2 + С3, γ2 = С1 – С2 + С3,
β3 = 2С1, γ2 = С1 – С2 + С3.
Подставляя решения системы (11.14) в (11.13) и преобразуя, получим следующее общее решение исходной системы примера 7:
,
,
.
По виду общего решения легко выписать три линейно независимых решений заданной системы дифференциальных уравнений и её фундаментальную систему решений (предоставляем это сделать читателю).
Контрольные задания
В соответствующем номере варианта требуется найти:
1. Общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения с разделёнными переменными, записанного в дифференциальной форме.
2. Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, записанного в дифференциальной форме.
3. Общий интеграл однородного дифференциального уравнения первого порядка.
4. Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах.
5. Общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли (методом подстановки) и методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной).
6. Частное решение линейного уравнения первого порядка, из предыдущего номера, удовлетворяющее данному начальному условию у (х 0) = у 0.
7. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
8. Частное решение уравнения из предыдущего номера, удовлетворяющее заданным начальным условиям у (х 0) = у 00, 
(х 0) = у 01.
9. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью f (x) при каждой из трёх её указанных видов.
10. По условию задачи составить дифференциальное уравнение для описания процесса, найти его общее решение и решение задачи с начальными условиями (задачи Коши).
11. Общее решение однородной системы с постоянными коэффициентами, состоящей из двух дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями x (t), y (t).
Вариант 1
1. 
.
2. 
3. 
4. 
5. 
.
6. у (0) = 1.
7. 
.
8. у (0) = 5, 
.
9. 
;
1) f (x) = x 2 + 1; 2) f (x) = (x + 2) e -2 x ; 3) f (x) = e 3 x cos 2 x.
10. Скорость изменения количества населения есть первая производная по времени от количества населения. Предполагается, что скорость прироста населения прямо пропорциональна количеству населения. Найти зависимость между количеством населения 
и временем 
, если известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный, количество населения составляло 
, а через год население увеличилось на 
%. Найти предполагаемое на этой основе население города S на 1 сентября 2010 года, если известно, что 1 сентября 2008 года оно составляло 5,342 миллиона человек. Годовой прирост принять равным 1,5%.
11. 
Вариант 2
1. 
.
2. ey (1 + x 2) dy – 2 x (1+ ey) dx = 0.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. y (0) = 2, 
.
9. 
;
1) f (x) = 2 x + 5; 2) f (x) = xe 5 x ; 3) f (x) = ex (x cos 3 x + sin 3 x).
10. Согласно закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Принимая во внимание данный факт, установлено, что скорость охлаждения тела (согласно механическому смыслу производной 
) прямо пропорциональна разности температур 
с коэффициентом пропорциональности 
, где 
температура тела, 
температура окружающего среды, 
искомое время охлаждения. Из экспериментального опыта известно, что тело в комнате с температурой 240 С в течении 10 минут охлаждается с 900 С до 400 С. Через сколько времени от момента начала охлаждения тело, нагретое до 900 С, охладится до 270 С?
11. 
Вариант 3
1. y dy – x dx = 0.
2. sin x dy = y ln y dx.
3. 
.
4. (exy + 5 y) dx + (ex + 5 x + 1) dy = 0.
5. 
6. 
7. 
.
8. y (0) = 6, .
9. 
;
1) f (x) = x 2; 2) f (x) = xe 3 x ; 3) f (x) = e 3 x sin 2 x.
10. Пусть 
выпуск продукции некоторого предприятия. Скорость увеличения выпуска продукции прямо пропорциональна с коэффициентом пропорциональности доходу (
доход от продажи выпуска продукции). Согласно механическому смыслу производной скорость изменения функции 
есть 
. Составить уравнение, связывающее скорость изменения выпуска продукции и доход от продажи выпуска по цене 
. Предполагается, что с увеличением выпуска будет проходить насыщение рынка и цена товара будет падать. Известно, что 
. Составить дифференциальное уравнение для функции . Найти функцию при условии, что 
.
11. 
Вариант 4
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. (x + 2 xy 2) dx + (2 x 2 y + y 2) dy = 0.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. y (0) = 8, .
9. 
;
1) f (x) = 2 x 2 + 3 x + 5; 2) f (x) = xe 6 x ; 3) f (x) = e 6 x (cos 2x + x sin 2 x).
10. Пусть объём продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени . В экономической модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций 
с коэффициентом пропорциональности 
, где 
норма акселерации. Модель предполагает, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене 
. При таких условиях очевидно, что доход к моменту времени составит 
. Величина в модели составляет фиксированную часть дохода 
, где коэффициент пропорциональности 
является нормой инвестиций 
. Найти выражение для объёма реализованной продукции 
, если известно, что кривая спроса задаётся уравнением 
, норма акселерации 
, норма инвестиций 
, 
.
11. 
Вариант 5
1. y 2 dy = x 2 dx.
2. 
.
3. 
.
4. (sin y + y + x) dx + (x cos y + x + y) dy = 0.
5. 
.
6. y (1) = e.
7. 
.
8. y (0) = 3, 
.
9. 
;
1) f (x) = 3 x + 2; 2) f (x) = xe 6 x ; 3) f (x) = ex cos 3 x.
10. Пусть выпуск продукции является функцией времени. Из механического смысла производной скорость выпуска продукции представляет собой производную . Пусть 
издержки производства, а цена единицы продукции есть . Рассматривается модель, в которой скорость выпуска продукции прямо пропорциональна прибыли предприятия с коэффициентом пропорциональности (
представляет собой прибыль производства). Составить дифференциальное уравнение для нахождения выпуска продукции , если цена единицы продукции задана функцией 
. Найти выпуск продукции при условии, что 
. Издержки производства выражает функция 
, а цену единицы продукции – функция .
11. 
Вариант 6
1. 
.
2. dy = (y 2 – 4) dx.
3. 
.
4. (3 x 2 – y 2 + 1) dx + (y – 2 xy) dy = 0.
5. 
.
6. y (1) = e.
7. 
.
8. y (0) = 10, 
.
9. 
;
1) f (x) = x 3 + 5; 2) f (x) = xe 2 x ; 3) f (x) = xe2x cos 3 x.
10. Пусть 
количество радиоактивного вещества в момент времени . Из эксперимента известно, что скорость радиоактивного распада в каждый момент времени (единицу времени) прямо пропорциональна наличной его массе 
с коэффициентом пропорциональности 
. Предполагается, что происходит убывание массы вещества. Из механического смысла производной скорость радиоактивного распада представляет собой производную функции . За 100 лет распалась половина первоначального количества радиоактивного вещества (период полураспада составляет 1600 лет). Определить временной промежуток, по истечении которого останется 6% первоначального количества радиоактивного вещества.
11. 
Вариант 7
1. 
.
2. tg x dy – y dx = 0.
3. 
.
4. (x + 4 y 2) dx + (8 xy + ey) dy = 0.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. y (0) = 8, 
.
9. 
;
1) f (x) = 3 x 2 + 2 x + 10; 2) f (x) = (x + 1) e 3 x ; 3) f (x) = xe2x sin 3 x.
10. В рамках некоторого экономического процесса предполагают, что доход 
, полученный к моменту времени определённой отраслью, является суммой инвестиций и величины потребления 
: = + . Предполагают, что произведение скорости увеличения дохода на коэффициент капиталоёмкости 
прироста дохода пропорционально величине инвестиций. Напомним, что под капиталоёмкостью понимают показатель, характеризующий отношение основного капитала к чистому доходу (прибыли). Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией 
; коэффициент капиталоёмкости прироста дохода 
, а 
.
11. 
Вариант 8
1. 
.
2. (1 + ex) y dy = ex dx.
3. 
.
4. (3 x 2 y 2 + 4 xy + 2) dx + (2 x 3 y + 2 x 2 – 3) dy = 0.
5. 
.
6. y (0) = 4.
7. 
.
8. y (0) = 8, .
9. 
;
1) f (x) = 2 x 3 + 5; 2) f (x) = xe -5 x ; 3) f (x) = xe2x cos x.
10. Из эксперимента известно, что скорость радиоактивного распада некоторого вещества в каждый момент времени (единицу времени) прямо пропорциональна наличной его массе 
с коэффициентом пропорциональности . Полагается, что происходит убывание массы вещества. Из механического смысла производной известно, что скорость радиоактивного распада представляет собой производную массы. За 300 лет распалась половина первоначального количества (период полураспада составляет 1300 лет). Определить временной промежуток, по истечении которого останется 8% первоначального количества вещества.
Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 20 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |