Министерство образования и науки Российской Федерации 1 страница

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

ПРАКТИКУМ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Учебное пособие

Хабаровск 2010

УДК 517.9

ББК В 1

Т 45

Тиунчик М. Ф. Практикум по дифференциальным уравнениям: учеб. пособие / М. Ф. Тиунчик, Ю. Г. Саяпина. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2010. – 92 с.

Рецензенты: Е. Г. Агапова, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики ТОГУ;

А. И. Ивлева, канд. физ.-мат. наук, доцент Хабаровского пограничного института Федеральной службы Российской Федерации

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве учебного пособия

© Тиунчик М. Ф., Саяпина Ю. Г., 2010

© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2010

Введение

Дифференциальные уравнения как самостоятельная дисциплина на современном этапе является наукой, имеющей разнообразные приложения как в самой математике, так и в физике, химии, экономических, социологических науках. Большинство вопросов сводятся к следующей задаче: найти функцию у, имея некоторое уравнение, в которое, кроме этой функции и аргументов, от которых она зависит, входят также её производные до некоторого порядка. Если искомая функция при этом зависит лишь от одного аргумента, такое уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением.

Для основных экономических специальностей обыкновенные дифференциальные уравнения изучаются как раздел в общем курсе математики. Настоящее учебное пособие содержит весь материал, предусмотренный по данному разделу соответствующими государственными стандартами. Кроме того, оно может быть использовано студентами специальности «Математические методы в экономике», которые изучают дифференциальные уравнения отдельной дисциплиной.

В учебном пособии приведены основные теоретические сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Рассмотрена тема «Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме». Приведены задачи на составление и решение дифференциальных уравнений, в основном экономического содержания. Весь материал иллюстрируется примерами.

Авторами составлены тридцать вариантов индивидуальных заданий. Каждое типовое задание состоит из десяти упражнений. Вариант в полном объёме выдаётся студентам специальности «Математические методы в экономике». Для остальных специальностей вариант выдаётся не в полном объёме, а только по тем темам раздела, изучение которых предусмотрено соответствующим стандартом в общем курсе математики.

Общие понятия о дифференциальных уравнениях

Уравнение, в которое входят производные неизвестной функции, называется дифференциальным. Если эта искомая функция зависит лишь от одного аргумента, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же неизвестная функция является функцией нескольких независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный (наивысший) порядок входящей в него производной неизвестной функции.

Примерами обыкновенных дифференциальных уравнений являются уравнения с неизвестной функцией у = у(х):

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

При этом первое из них – третьего порядка, второе и третье – второго порядка, а четвёртое – первого порядка. Из примеров видно, что сама функция и некоторые её производные в записи уравнения могут отсутствовать (см. примеры 2 и 3), но обязательно наличие старшей производной при указанном порядке уравнения.

Примером дифференциального уравнения в частных производных является уравнение второго порядка

с неизвестной функцией y = y (x ₁, x ₂) двух переменных.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция, при подстановке которой в уравнение (с учётом входящих в него производных) получится тождество.

Например, решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

является функция

,

где с – произвольная постоянная. Таким образом, это уравнение имеет бесконечное множество решений.

В дальнейшем здесь будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения.

1 Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка представляет собой

. (1.1)

В равенстве (1.1) F есть известная функция трёх переменных, т.е. это соотношение связывает три переменные величины: независимую переменную х, неизвестную функцию у(х) и её производную y ′(х).

В некоторых случаях уравнение (1.1) можно однозначно разрешить относительно производной у ′, т.е. представить в виде

у ′ = f (x, y), (1.2)

где f (x, y) – конкретная функция двух переменных. Уравнение (1.2) называют дифференциальным уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Это уравнение, как и (1.1), рассматривают на некотором промежутке изменения аргумента х; например, на отрезке [ a, b]. Часто эти уравнения рассматриваются на множестве (–∞, +∞), т.е. на всей координатной прямой О х.

Уравнение (1.2) более доступно для изучения, чем дифференциальное уравнение общего вида (1.1). Так, воспользовавшись равенством dy = y ′ dx, его можно представить в виде

dy = f (x,y) dx, (1.3)

который называют дифференциальной формой уравнения (1.2).

Тогда при некоторых видах функции f (x,y) может получиться уравнение

Р(х, у) dx + Q(x, y) dy = 0, (1.4)

где P и Q – конкретные функции двух переменных.

Уравнение (1.4) будем называть дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Самым простым примером дифференциального уравнения вида (1.2) является уравнение

у ′ = f (x),

где f (x) – известная функция.

Из интегрального исчисления известно, что решение находится интегрированием этой функции:

y = = F(x) + C,

где С – произвольная постоянная, а F(x) – одна из первообразных функций для функции f (x). Следовательно, дифференциальное уравнение такого вида имеет бесконечное множество решений.

Например, решением уравнения у ′ = 2 х является множество у = х ² + С, т.е. геометрически представляет собой семейство парабол в прямоугольной декартовой системе координат О ху. Каждую такую функцию называют интегральной кривой. В случае простейших уравнений, как или , соответствующие интегралы, как известно из интегрального исчисления, уже не выражаются через элементарные функции. Всё же те уравнения, решения которых выражаются через интегралы от элементарных функций, принято называть разрешимыми «в квадратурах». Этот термин возник в связи с тем, что операция интегрирования связана с отысканием площадей фигур.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка, связанный с операцией интегрирования, принято называть интегрированием дифференциального уравнения.

Выделим во множестве решений y = x ² + C только что рассмотренного дифференциального уравнения y ′ = 2 x функцию (интегральную кривую), проходящую через точку М(1, 2), т.е. решение, удовлетворяющее условию у (1) = 2. Им будет интегральная кривая у = х ² + 1. Такое решение называется частным решением (частным интегралом) этого дифференциального уравнения. Оно получилось из решения у = х ² + С подбором постоянной С (в данной ситуации оказалось, что С = 1). В дальнейшем решение у = х ² + С, где С – произвольная постоянная, будет называться общим решением (общим интегралом) уравнения y ′ = 2 x. С геометрической точки зрения общее решение представляет собой семейство интегральных кривых (в данном случае – семейство парабол).

Всякое решение дифференциального уравнения (1.1) или (1.2) при условии

у (х ₀) = у ₀, (1.5)

где х ₀ – произвольная точка из промежутка, на котором рассматривается уравнение, а у ₀ – произвольно заданное число, называется частным решением (частным интегралом) дифференциального уравнения. График частного решения называют интегральной кривой.

Равенство (1.5) называется начальным условием для дифференциального уравнения.

Геометрически оно означает, что на плоскости О ху задаётся точка М₀(х₀, у₀), через которую должна проходить искомая интегральная кривая, т.е. график функции у = у (х).

Задача нахождения решения дифференциального уравнения (1.1) или (1.2) с присоединённым к нему условием (1.5), называется задачей Коши или задачей с начальным условием.

Непрерывно дифференцируемая функция (функция, непрерывная вместе с её производной)

у = у (х, с), (1.6)

которая содержит одну произвольную постоянную С, называется общим решением дифференциального уравнения или общим интегралом (1.1) или (1.2), если выполняются следующие два условия:

1) при каждом фиксированном С эта функция является решением соответствующего уравнения;

2) каково бы ни было начальное условие (1.5), найдётся такое конкретное число С, что функция (1.6) при этом С будет удовлетворять этому условию.

Запись (1.6) означает, что имеется явная форма общего решения (общего интеграла).

Однако во многих случаях при решении дифференциального уравнения удаётся получить лишь неявное выражение общего решения (общего интеграла)

Ф(х, у, с) = 0, (1.7)

т.е. некоторое соотношение, связывающее аргумент х, неизвестную функцию у = у(х) и содержащее одну произвольную постоянную С.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения первого порядка есть решение, из которого путём подбора постоянной С можно получить частное решение с любым подходящим этому уравнению начальным условием.

Сформулируем теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (1.2) с начальным условием (1.5).

Пусть правая часть f (x, y) уравнения (1.2) как функция двух переменных х, у удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна в некоторой области D на плоскости, содержащей точку (х ₀, у ₀), являющуюся внутренней для D;

2) функция f имеет непрерывную частную производную по переменной у в области D. Тогда найдётся такое число δ > 0, что на отрезке [ x ₀ – δ, x ₀ + δ] из промежутка, на котором рассматривается дифференциальное уравнение, решение задачи Коши (1.2), (1.5) существует и единственно.

Обычно х (– ∞, + ∞). Но если х принадлежит некоторому отрезку [ a, b], то область D на плоскости предполагается такой, что точка х ₀ является внутренней для [ a, b]. Например, D есть прямоугольник [ x ₀ – a, x ₀ + b; y₀ – с, y₀ + d].

2 Дифференциальные уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделёнными переменными называется уравнение вида

f ₁(y) dy = f ₂(x) dx, (2.1)

которое записано в дифференциальной форме. Здесь f ₁(y), f ₂(x) – известные непрерывные функции своих аргументов. Переменные х и у разделены, поскольку в уравнении (2.1) левая часть содержит лишь переменную у и её дифференциал, а правая часть – только переменную х и её дифференциал.

Соотношение вида

(2.2)

является общим интегралом дифференциального уравнения с разделёнными переменными.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Так как переменные разделены, то

Найдя интегралы, имеем

или .

Тогда у = (– 0,5cos x + 0,5C)².

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

f ₁(x)q₁(y) dy = f ₂(x)q₂(y) dx. (2.3)

С помощью деления на f ₁(x)q₂(y) ≠ 0 уравнение (2.3) приводится к виду , интегрируя которое находим общий интеграл дифференциального уравнения «в квадратурах»

. (2.4)

Отметим, что при делении возможна потеря частных решений.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Учитывая, что , имеем , откуда . Интегрируя это равенство, получим следующее:

Тогда . Надо добавить ещё потерянное при делении решение у = 0.

3 Однородные дифференциальные уравнения

Функция f(x, y) называется однородной функцией нулевой степени, если для любого t ≠ 0 выполняется равенство

f(tx, ty) = f(x,y). (3.1)

Уравнение (1.2) называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если f(x, y) есть однородная функция нулевой степени.

Тогда уравнение (1.2) можно привести к виду

. (3.2)

Решение таких уравнений осуществляется с помощью замены переменной

, (3.3)

где u – новая функция переменной х.

Дифференцируя выражение y = u x, получаем .

Подставляя y = u x и в (3.2), получаем:

,

где Ф(u) = φ(u) – u. Переменные разделяются:

.

Общее решение «в квадратурах» выглядит следующим образом:

,

где С – произвольная постоянная (С > 0).

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Уравнение является однородным, так как в правой части равенства стоит функция переменной . С помощью замены (3.3) уравнение принимает вид . Преобразуя и разделяя переменные, получаем .

Проинтегрируем левую часть последнего равенства:

.

Возвращаясь к дифференциальному уравнению, получаем

= + ln С₁ (С₁ > 0).

Учитывая, что , окончательно имеем

= .

Получено решение в неявном виде.

4 Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

, (4.1)

если существует такая функция u = u (x, y) двух переменных, полный дифференциал которой представим в виде

du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

Тогда уравнение (4.1) принимает вид

du(x, y) = 0.

Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является выражение

u(x, y) = С, (4.2)

где С – произвольная постоянная.

Известно, что для того чтобы левая часть уравнения (4.1) являлась полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Эйлера

. (4.3)

Если условие (4.3) выполнено, то

du = Pdx + Qdy.

С другой стороны, из определения полного дифференциала функции u имеем равенство

.

Из этих двух равенств получаем следующую систему уравнений в частных производных:

Проинтегрируем первое равенство системы по переменной х:

, (4.4)

где С(y) – произвольная функция переменной у. Для нахождения функции С(y) дифференцируем равенство (4.4) по у; при этом учитываем, что :

.

Из последующего уравнения определится С′(y), а затем интегрированием по у найдётся С(y).

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Так как , , то ; . Следовательно, выполняется условие (4.3), и это уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах. Для искомой функции имеем и . Из первого уравнения получаем = . Дифференцируем последнее равенство по : =8 xy + С′(y). Учитывая, что =8 xy + 1, имеем С′(y) = 1. Отсюда , = . Общий интеграл запишется в виде .

5 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция и её первая производная входят в первой степени:

. (5.1)

Существуют два метода решения уравнения (5.1): метод Бернулли (метод подстановки) и метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

Метод Бернулли (метод подстановки)

Решение уравнения (5.1) ищется в виде

y = u v, (5.2)

т.е. в виде произведения двух неизвестных дифференцируемых функций u = u (x) и v = v(x). Подставляя функцию (5.2) и её производную

y′ = u′ v + u v ′

в уравнение (5.1), в результате получим:

u ′v + u [v′ + p(x)v] = q (x). (5.3)

Подберём какую-нибудь функцию v, чтобы выражение в квадратных скобках последнего равенства равнялось нулю:

v′ + p(x)v = 0. (5.4)

Разделяя в (5.4) переменные и интегрируя, получим .

Так как нам нужно иметь одну из функций v, удовлетворяющих (5.4), то можно положить С₁ = 0. Тогда

. (5.5)

Подставим найденную функцию v(x) в (5.3). В результате приходим к дифференциальному уравнению

(5.6)

с разделяющимися переменными относительно другой неизвестной функции u(x). Решением уравнения (5.6) является функция

, (5.7)

где С – произвольная постоянная.

Подставляя найденные функции u и v (см. (5.5) и (5.7)) в равенство (5.2), получаем общее решение дифференциального уравнения (5.1) в следующем виде:

. (5.8)

Однако при решении конкретных примеров не рекомендуется использовать равенство (5.8). Обычно действуют по изложенной выше схеме.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

y ′ + y cos = e^{– sin x} .

Решение. Применяем замену (5.2), дифференцируем функцию y (x), подставляем её и производную в искомое уравнение. В результате приходим к уравнению

u ′v + u [v′ + v cos x ] = e^{– sin x} .

Теперь подбираем функцию v, являющуюся одним из решений уравнения v′ + v cos x = 0. Разделяем в последнем уравнении переменные:

.

Тогда . Полагая с₁ = 0, находим, что . За v(x) возьмём функцию v = e^{– sin x}.

Функция u (x) определится из равенства

u ′e^{– sin x} = e^{– sin x} .

Тогда u ′ = 1 или du = dx. Таким образом, u = x + C.

Перемножая функции u и v, окончательно получим, что общее решение исходного уравнения таково:

y = Сe^{– sin x} + x e^{– sin x} .

Уравнение (5.1) при q(x) ≠ 0 называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка, а при q(x) 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Линейное однородное уравнение

y ′ + p(x) y = 0 (5.9)

является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому

.

Интегрируя последнее равенство, получаем

(С₁ > 0).

После потенцирования общее решение уравнения (5.9) принимает вид

, (5.10)

где С ≠ 0. Так как при делении равенства (5.9) на y потеряно решение y ≡ 0, то в равенстве (5.10) надо учитывать, что С может принимать и значение 0.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Алгоритм метода

1. Для заданного неоднородного уравнения (5.1) выписывается соответствующее ему так называемое приведённое однородное уравнение вида (5.9), т.е. правая часть f (x) уравнения (5.1) заменяется нулём, а коэффициент р(х) при неизвестной функции y (x) сохраняется.

2. Методом разделения переменных находится общее решение этого однородного уравнения, которое имеет вид (5.10).

3. В (5.10) постоянную С заменяют на неизвестную функцию С(х), т.е. полагают С = С(х). При этом говорят, что постоянную С варьируют (изменяют). Таким образом, решение исходного неоднородного уравнения (5.1) ищут в виде

, (5.11)

Дата добавления: 2015-08-29