Министерство образования и науки Российской Федерации 3 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 9Следующая ⇒

Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5): . После подстановки и в неоднородное уравнение получаем следующее:

Система для отыскания коэффициентов , , и будет иметь вид

откуда , , , . Тогда частным решением неоднородного уравнения является функция .

В результате получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения .

Вычислим и :

Сравнивая эти значения с данными начальными условиями примера, получим систему для отыскания постоянных и :

В результате решения системы получаем , . Решение дифференциального уравнения с начальными условиями будет таково: .

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.3). Контрольное число правой части .

Найдём общее решение соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения . Корнями его характеристического уравнения являются числа и . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид .

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид . Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5) с многочленом первой степени:

Подставляя эту функцию, её производные и в неоднородное уравнение, после преобразований получим:

Система для отыскания коэффициентов и примет следующий вид:

Тогда =1 и . Частное решение неоднородного уравнения есть . Общее решение представляет собой функцию .

Пример 5. Указать вид, в котором находится частное решение дифференциального уравнения

Решение. Правая часть уравнения представляет собой вид (8.3), при этом контрольное число правой части является однократным корнем характеристического многочлена. Поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.6):

Пример 6. Указать вид, в котором находится частное решение дифференциального уравнения

Решение. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.3), причём контрольное число правой части .

Характеристическое уравнение соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения имеет единственный двукратный корень .

Поскольку контрольное число является двукратным корнем характеристического многочлена, то частное решение исходного неоднородного уравнения находим в виде (8.7):

Пусть теперь правая часть уравнения (8.1) имеет специальный следующий вид:

f (x) = e^{α x} [P_n(x) cos β x + R_m(x) sin β x ], (8.9)

где α, β – действительные числа, причём β ≠ 0, а P_n(x), R_m(x) – многочлены соответственно степени n ≥ 0 и m ≥ 0 с действительными коэффициентами. При этом не исключается, что в (8.9) могут присутствовать члены только с косинусами или только с синусами; это означает, что один из многочленов может быть нулевым (либо P_n(x) ≡ 0, либо R_m(x) ≡ 0).

Случай β = 0 приводит к изученной ситуации (8.3).

Число σ = α ± βi назовём контрольным числом правой части уравнения (8.1).

Наибольшую из степеней многочленов, присутствующих в (8.9), обозначим через S:

S = max {n, m}.

Пусть правая часть неоднородного уравнения (8.1) имеет вид (8.9). Тогда

а) если контрольное число σ не является корнем характеристического уравнения (7.2) соответствующего приведённого однородного уравнения, то частное решение находят в виде

y = e^{α x} [Q_S(x) cos β x + L_S(x) sin β x ], (8.10)

б) если контрольное число σ является корнем характеристического уравнения (7.2) (резонансный случай), то частное решение находят в виде

y = x e^{α x} [Q_S(x) cos β x + L_S(x) sin β x ]. (8.11)

В выражениях (8.10) и (8.11) многочлены Q_S(x), L_S(x) есть многочлены высшей степени S каждый со своими коэффициентами b_r, C_r, подлежащими нахождению методом неопределённых коэффициентов.

К выводу б) сделаем следующее замечание. Комплексные корни алгебраического уравнения (7.2) второй степени с действительными коэффициентами p, q могут являться только сопряжёнными парами α + βi и α – βi, т.е. они у этого уравнения однократны. Поэтому в (8.11) множитель x имеет первую степень (сравните с ситуациями б) и в) предыдущего вывода).

Поясним выводы а) и б) ситуации (8.9) примерами.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.9). Контрольное число правой части не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Нахождение частного решения неоднородного уравнения в виде (8.10) требует предварительного определения степеней многочленов в этой формуле. Правая часть исходного уравнения содержит многочлены первой и нулевой степени. Поэтому в виде частного решения оба многочлена должны быть высшей степени, т.е. первой:

Подставляя эту функцию и её производные

в исходное уравнение, после преобразований получаем:

. Система для нахождения коэффициентов примет вид:

Решая систему, находим коэффициенты: , , , . Общим решением неоднородного уравнения будет функция , где и – произвольные постоянные.

Пример 8. Указать вид общего решения дифференциального уравнения

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.9). Контрольное число правой части является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Нахождение частного решения неоднородного уравнения в виде (8.11) требует предварительного определения степеней многочленов перед синусом и косинусом в этой формуле. Правая часть исходного уравнения содержит многочлены второй и первой степеней перед косинусом и синусом. Поэтому частное решение должно содержать многочлены второй степени, а именно

Тогда общее решение неоднородного уравнения таково: , где и – произвольные постоянные.

9 Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений

Аппарат дифференциальных уравнений находит широкое применение для математического решения ряда экономических, экологических, демографических, социальных и физических прикладных задач.

В математическом исследовании любой задачи, касающейся некоторого реального процесса, выделяют следующие основные этапы:

1) построение математической модели явления или процесса;

2) изучение математической модели и получение решения составленной математической задачи;

3) практическое приложение полученных результатов на основе данной модели.

Желательно также выяснить, какие явления или процессы можно описать той же математической моделью.

В соответствии с вышеописанными основными этапами математического исследования задачи непосредственное решение распадается на пункты:

а) составление дифференциального уравнения по условию конкретной задачи;

б) решение дифференциального уравнения;

в) исследование полученного решения.

Как правило, рекомендуется следующая последовательность действий:

1. Установить величины, изменяющиеся в данном явлении.

2. Выявить законы (экономические, физические и т.д.), связывающие их.

3. Выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую необходимо найти.

4. Выразить все величины из условия задачи через независимую переменную, искомую функцию и её производные.

5. Исходя из условия задачи и закона, которому подчинено рассматриваемое явление, составить дифференциальное уравнение.

6. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

7. Определить начальные или краевые условия для составленного дифференциального уравнения.

8. По начальным или краевым условиям найти частное решение дифференциального уравнения.

9. Исследовать полученное решение.

Рассмотрим практическую реализацию описанной схемы на примере некоторых экономических задач.

Задача 1. Для некоторого предприятия установлено, что скорость увеличения выпуска продукции прямо пропорциональна его прибыли с коэффициентом пропорциональности . Пусть выпуск продукции этого предприятия. Составить уравнение, связывающее скорость изменения выпуска продукции и доход от продажи выпуска по цене . Предполагается, что с увеличением выпуска будет проходить насыщение рынка и цена товара будет падать. Известно, что цена одной единицы продукции задана функцией вида . Полные издержки предприятия выражаются функцией . Составить дифференциальное уравнение для функции . Найти функцию при условии, что в начальный момент времени выпуск равен 100.

Решение

1. Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: время , выпуск продукции , цена единицы продукции, прибыль, полные издержки предприятия, скорость роста выпуска.

2. Выявим законы, связывающие обозначенные величины:

· скорость выпуска продукции определяется как производная выпуска продукции по времени: ;

· выручка предприятия определяется как произведение цены единицы продукции на интенсивность её выпуска ;

· прибыль определяется как разность между выручкой предприятия и полными издержками ;

· скорость выпуска продукции в 1,1 раза больше его прибыли.

3. Выбираем

· независимую переменную t;

· функцию переменной t, которую необходимо найти: .

4. Выражаем все величины из условия задачи через независимую переменную t, искомую функцию и её производную:

· прибыль предприятия =

;

· скорость выпуска продукции .

5. Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи:

= .

6. Найдём общее решение составленного дифференциального уравнения.

Получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем:

, ,

, , , . Общим решением является функция .

7. Определяем начальное условие: .

8. По начальным условиям найдём частное решение.

Поскольку , получаем уравнение

Откуда . Следовательно, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид .

9. Исследуем полученное решение.

Построим график частного решения.

Из графика видно, что с увеличением времени интенсивность выпуска снижается. Можно определить значение функции для различных значений промежутков времени ; например, 12,99 или 3,48.

Определим, с какого времени выпуск продукции становится меньше единицы, то есть . Для этого необходимо решить неравенство

или .

Введём обозначение , . В результате замены получаем неравенство . Отметим нули неравенства и на числовой оси и исследуем знак неравенства при переходе через эти точки.