Министерство образования и науки Российской Федерации 4 страница

Тогда или ,

.

6. Найдём общее решение составленного дифференциального уравнения.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение находят в виде .

Найдём . Характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения таково: . Корнями характеристического уравнения являются числа

.

Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения является функция .

Найдём частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Правая часть уравнения имеет вид . Контрольное число не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение будет вида . Найдем с помощью метода неопределённых коэффициентов. Подставляя и в первоначальное уравнение, получаем уравнение: , откуда . Таким образом, .

Общее решение неоднородного уравнения таково:

.

7. Определяем начальные условия: , .

8. Определим частное решение дифференциального уравнения по начальным условиям , .

Учитывая, что , получаем систему для отыскания постоянных и :

Система после преобразования принимает вид

откуда и .

Частное решение дифференциального уравнения таково:

.

9. Исследуем полученное решение

Построим график частного решения (рисунок 1). Из графика видно, что с увеличением времени динамика цены на товар снижается. Определим, с какого времени цена на товар становится равной нулю, то есть .

Рисунок 1 – График зависимости цены от времени

Найдём решение уравнения . На рисунке 2 показано решение данного уравнения с помощью пакета Maple.

Рисунок 2 – Решение уравнения с помощью пакета Maple

Таким образом, при цена на товар становится равной нулю. При цена становится отрицательной.

Задача 3. Скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени. Предполагается, что скорость изменения количества населения прямо пропорциональна наличному его количеству с коэффициентом пропорциональности . Найти зависимость между количеством населения и временем , если известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный, количество населения составляло , а через год население увеличилось на %. В рамках данного допущения найти предполагаемое количество населения России через 20 лет, зная, что в 2002 г. оно составляло 145 миллионов человек, а прирост населения составил .

Решение

1.Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: наличное количество населения , время .

2. Выявим законы, связывающие обозначенные величины:

· скорость изменения населения прямо пропорциональна наличному количеству населения с коэффициентом пропорциональности : .

3. Выбираем

· независимую переменную t;

· функцию переменной t, которую необходимо найти: .

4. Выражаем все величины из условия задачи через независимую переменную t, искомую функцию и её производную:

· скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени: .

5. Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи

.

6. Найдём общее решение составленного дифференциального уравнения.

Получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: . Откуда , , . Общее решение таково: .

7. Определяем параметры С и К

Так как общее решение

у = Се^kt,

то постоянная С определяется из начального условия у(0) = у₀. Получим уравнение у₀ = С е ^k∙0 для нахождения С. Следовательно, С = у₀ и решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид у = у₀ е ^k∙t. Теперь надо найти параметр К. Для этого воспользуемся условием задачи: через год население увеличилось на b%. Тогда годовой прирост в процентах от у₀ составит , а количество населения через год станет равным . Таким образом, .

Частное решение у = у₀ е ^k∙t при t = 1 принимает значение у₀ е ^k. Тогда для нахождения параметра К имеем следующее уравнение:

,

откуда .

Следовательно, равенство

задаёт численность населения в момент времени t при начальном количестве у₀ и годовом приросте b%.

Первое начальное условие . Найдём второе начальное условие из условия задачи. Поскольку через год население увеличилось на %, то годовой прирост в процентах от составит , а количество населения через год становится равным + . Таким образом, второе начальное условие имеет вид + .

8. Исследуем полученное решение

Построим график частного решения (рисунок 2).

Рисунок 2 – график частного решения

Из графика видно, что с увеличением времени количество населения увеличивается.

Найдём предполагаемое количество населения России через 20 лет, зная, что в 2002 г. оно составляло 145 миллионов человек, а прирост населения составил . Подставляя в частное решение , и , получаем миллионов человек.

10 Системы дифференциальных уравнений

Линейной системой дифференциальных уравнений первого порядка называется система вида

(10.1)

Запись системы в виде (10.1) называется нормальной формой.

Если функции , ,…, тождественно равны нулю, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Предполагается, что аргумент изменяется на всей числовой оси или на некотором промежутке (например, на отрезке ). Коэффициенты и свободные члены предполагаются непрерывными на соответствующем множестве функциями.

Пусть неизвестные функции , …, в некоторой точке x₀ множества, на котором рассматривается система (10.1), удовлетворяют условиям

, (10.2)

где заданные числа. Условия (10.2) называются начальными условиями для системы (10.1).

Задача (10.1)–(10.2) называется задачей Коши или задачей с начальными условиями для системы (10.1).

Решение задачи (10.1)–(10.2) называется частным решением системы (10.1).

Если коэффициенты и свободные члены непрерывны на , то для любой точки x₀ из интервала решение задачи Коши (10.1)–(10.2) существует и единственно.

Общим решением системы (10.1) называется всякое её решение, из которого можно получить любое частное решение, удовлетворяющее условиям (10.2) при любой точке x₀ из соответствующего множества и любых конкретно выбранных числах

Одним из основных методов нахождения решения однородных нормальных систем является метод исключения неизвестных. С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению n – го порядка относительно одной неизвестной функции.

Пример. Найти общее решение системы уравнений

Решение. Продифференцировав первое из уравнений системы по , получим . Подставляя в это равенство выражение из второго уравнения системы и заменяя функцию её выражением из первого, приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции:

; ;

или .

Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения таково: , откуда , ; тогда , где – произвольные постоянные. Дифференцируя последнее равенство, имеем . Подставляя выражения для и в первое уравнение системы, получаем

, .

Общее решение данной системы имеет вид , .

Найдём частное решение данной системы, удовлетворяющее начальным условиям

Это означает, что в общем решении , надо выделить такие числа , чтобы выполнялись эти начальные условия.

Так как то получаем следующую систему линейных уравнений для нахождения и :

Её решение таково: , .

Таким образом, частные решения системы уравнений данного примера, удовлетворяющее начальным условиям имеют вид , .

Рассмотрим ещё один метод нахождения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме.

Пусть при каждом система функций

(10.3)

является частным решением однородной системы линейных уравнений. Назовём систему решений (10.3) фундаментальной системой решений однородной системы, если определитель

(10.4)

не равен тождественно нулю в интервале . При этом определитель (10.4) называется определителем Вронского, а матрица W(x) – фундаментальной матрицей системы.

Каждый набор функций (10.3) можно трактовать как n – мерный вектор

,

соответствующими координатами которого являются функции (10.3). В случае фундаментальной системы решений это означает, что векторы () линейно независимы на интервале .

Если (10.3) есть фундаментальная система решений однородной системы в нормальной форме, то общее решение этой системы имеет вид

, (10.5)

где – произвольные постоянные. Запишем (10.5) в развёрнутом виде:

11 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Ограничимся подробно изучением таких систем, состоящих из двух и трёх уравнений. Для изучения систем с большим числом уравнений надо обратиться к дополнительной литературе.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными функциями , независимой переменной t

(11.1)

в которой все коэффициенты () являются постоянными действительными числами.

Фундаментальную систему решений системы (11.1) будем искать в виде

(11.2)

с постоянными коэффициентами и , которые надо найти. Не исключается, что эти постоянные могут быть комплексными числами.

Подставляя функции (11.2) и их производные в уравнения системы (11.1) и сокращая на , получим

Перенося все члены в одну часть равенства и группируя коэффициенты при , получим

(11.3)

Система (11.3) есть однородная система из двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными . Из алгебры известно, что однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное (ненулевое) решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю. Таким образом, неизвестный параметр k в (11.2) должен быть корнем уравнения

, (11.4)

которое называется характеристическим уравнением системы дифференциальных уравнений (11.1).

Уравнение (11.4) есть алгебраическое уравнение второй степени относительно параметра k:

. (11.5)

Из алгебры известно, что такое уравнение имеет два корня k₁, k₂ с учётом их кратности. Так как коэффициенты , уравнения (11.5) есть действительные числа, то его комплексные корни входят сопряжёнными парами .

Действительные корни характеристического уравнения (11.4), т.е. алгебраического уравнения (11.5), называются собственными числами (собственными значениями) матрицы

системы дифференциальных уравнений (11.1), а соответствующие этим числам нетривиальные решения системы (11.3) – собственными векторами матрицы А.

Пусть корни k₁, k₂ вещественны (действительны) и различны (k₁ k₂); иначе говоря, матрица А имеет простой спектр. Подставляя эти корни по очереди в систему (11.3), найдём соответствующие какие-нибудь конкретные собственные векторы и . Напомним, что собственные векторы, отвечающие простому корню, определяются с точностью до постоянной величины. По формулам (11.2) найдутся четыре функции, являющиеся фундаментальной системой решений системы (11.1). Пары этих функций x₁,y₁ и x₂,y₂ будут частными решениями системы (11.1), т.к. решения искались в виде (11.2) путём подбора и . Эти два решения будут линейно независимы. Это, во-первых, следует из того, что определитель, составленный из функций, образующих фундаментальную систему решений, будет отличен от нуля (предоставляется читателю проверить это). С другой стороны, линейная независимость этих двух решений следует из алгебраического факта: система собственных векторов , простого спектра линейно независима.

Общее решение системы (11.1) в случае вещественных различных корней k₁, k₂ будет иметь вид

, (11.6)

где – произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Эта система является системой вида (11.1) с матрицей системы

.

Характеристическое уравнение (11.4) для данной системы таково:

или .

Корнями этого уравнения являются числа и . Это и есть собственные значения матрицы А.

При система (11.3) в данном примере имеет вид

Так как ранг этой системы равен единице (), а число n неизвестных равно двум, то и система имеет бесчисленное множество решений, одним из которых является , . Таким образом, одним из собственных векторов при является вектор . Первое частное решение исходной системы задаётся функциями x₁(t)= , y₁(t)= .

Дата добавления: 2015-08-29