Министерство образования и науки Российской Федерации 5 страница

При система (11.3) имеет вид

Тогда собственным вектором является, в частности, вектор . Второе частное решение системы задаётся функциями x₂(t)= , y₂(t)= .

Найденные два решения являются линейно независимыми, т.к.

Следовательно, функции х ₁(t) = e ^-^t, x ₂(t) = e ⁴^t, y₁(t) = – 2 e ^-^t, y₂ = 3 e ⁴^t образуют фундаментальную систему решений. Тогда согласно (11.6) общее решение данной системы имеет вид

Таким образом, , , где – произвольные постоянные коэффициенты.

Пусть корни уравнения (11.4) являются комплексными. Выше отмечено, что для уравнений (11.5) с действительными коэффициентами они являются сопряжённой парой k_1,2= . При этом каждый такой корень даст одну и ту же фундаментальную систему решений.

Подставив корень k₁= a +bi в систему (11.3), найдём соответствующий вектор . По этому вектору из (11.2) найдётся фундаментальная система решений:

, .

Это означает, что из комплексного решения

соответствующего комплексному корню a + bi характеристического уравнения системы, выделены пары действительных решений

действительная и мнимая части комплексного решения, которые образуют фундаментальную систему решений. Комплексно-сопряжённый корень a – bi характеристического уравнения задаёт эту же фундаментальную систему решений.

Пример 2. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение данной системы имеет вид:

или .

Корни этого уравнения таковы: . Найдём решение системы (11.3), отвечающее одному из этих корней, например, . В данном примере система (11.3) в случае этого корня имеет вид

После упрощения получаем систему

которая имеет бесчисленное множество ненулевых решений. Одним из этих решений является вектор = .

Подставим корень и полученные , в (11.2). Получим решение данной системы как комплексные функции

Действительная и мнимая части этого решения также являются решениями рассматриваемой системы. Для выделения этих частей воспользуемся равенством

и формулой Эйлера

Тогда получим, что

Таким образом, , , , .

Действительные линейно независимые решения задаются функциями:

Эти решения и образуют фундаментальную систему.

Общее решение данной системы уравнений таково:

где – произвольные постоянные.

Построение фундаментальной системы решений системы линейных дифференциальных уравнений в случае кратных собственных чисел матрицы системы уравнений является значительно более сложной задачей. Разберём эту ситуацию на примере.

Пример 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение этой системы таково:

или .

Оно имеет один двукратный корень k=3 (k₁=k₂=3). Решение системы надо искать в виде

Продифференцировав эти функции, получим

Подставляя эти функции , и их производные в данную систему, сокращая на , получим следующие равенства:

Левые и правые части этих равенств являются многочленами первой степени относительно переменной t. Приравнивая соответствующие коэффициенты этих многочленов, получим следующую систему из четырёх линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными :

После преобразований получаем систему

ранг которой равен двум и свободных неизвестных – две. В качестве двух линейно независимых уравнений можно взять, например,

Очевидно, что за базисные переменные можно взять тогда свободные переменные, которые остаются произвольными. Обозначив эти произвольные постоянные, соответственно, через С₁ и С₂, получим, что Итак, общее решение рассматриваемой системы таково:

Сделаем замечание по поводу вида, в котором ищется общее решение системы уравнений примера 3 (случай, когда характеристическое уравнение системы имеет двукратный действительный корень).

Эту систему можно свести к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами относительно одной из неизвестных функций. Сделаем это. Продифференцируем второе уравнение; получим, что . Подставим в это уравнение из первого уравнения исходной системы. Получим, что . В это уравнение подставим функцию x, найденную из второго уравнения исходной системы (). Окончательно имеем следующее уравнение с неизвестной функцией y(t):

Это есть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого совпадает с характеристическим уравнением системы примера 3. Функции , задают фундаментальную систему уравнения общим решением которого является функция (см. тему 7). Как видно, оно совпадает с решением системы этого примера.

Изучим ещё систему трёх уравнений с тремя неизвестными функциями , , вещественной переменной t

(11.7)

где постоянные действительные числа.

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

, , , (11.8)

где и – некоторые числа, которые надо определить так, чтобы функции (11.8) были решением системы (11.7).

Подставляя данные функции и их производные в уравнения системы и сокращая на , получим

Перенося все члены в одну часть равенства и группируя коэффициенты при , получим систему уравнений

(11.9)

Система (11.9) есть система трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными . Как известно, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю, т. е. чтобы число было корнем уравнения

(11.10)

Уравнение (11.10) называется характеристическим уравнением для системы (11.7). Оно является уравнением третьей степени относительно и из него определяются те значения , при которых система (11.9) имеет нетривиальные (ненулевые) решения .

Из алгебры известно, что уравнение (11.10) будет иметь три корня с учётом их кратности. Комплексные корни всякого алгебраического уравнения с действительными коэффициентами являются сопряжёнными парами . Поэтому уравнение (11.10), являющееся уравнением нечётной степени (в данном случае третьей степени), будет иметь хотя бы один действительный корень .

Таким образом, относительно корней уравнения (11.10) возможны следующие ситуации:

1) все корни k₁, k₂, k₃ действительны и различны;

2)имеется пара комплексно-сопряжённых корней и один действительный корень;

3) корни действительны и один из них является двукратным;

4) один действительный трёхкратный корень.

Рассмотрим первую ситуацию, когда все корни k₁, k₂, k₃ уравнения (11.10) действительны и различны, т.е. матрица системы имеет простой спектр. Подставляя их по очереди в систему (11.9), найдём конкретные собственные векторы

, , .

В результате получим фундаментальную систему решений исходной системы (11.7):

, , ;

, , .

Общее решение системы (11.7) можно записать в виде

(11.11)

где – произвольные постоянные.

Пример 4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение для системы имеет вид

Вычислив определитель, получим уравнение третьей степени . Все корни характеристического уравнения – действительные и различные числа, а именно: , , .

Найдём частное решение, соответствующее корню . Подставляя в систему (11.9), получаем следующую алгебраическую систему уравнений:

Одним из решений этой системы будут числа: , , . Согласно (11.8) частное таково: .

Найдём частное решение, соответствующее корню . Подставляя в систему (11.9), получаем:

Одно из решений этой системы таково: , , . Частное решение имеет следующий вид: , .

Найдём частное решение, соответствующее корню . Подставляя в систему (11.9), получаем:

Одним из решений этой системы будет , , . Тогда частное решение имеет вид , .

Таким образом, найдена фундаментальная система решений.

Общее решение исходной системы примера 4 таково:

где , и – произвольные постоянные.

Пример 5. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение для этой системы таково:

Корнями характеристического уравнения являются числа , и . Один корень характеристического уравнения – действительный, а два другие – комплексно-сопряжённые.

Найдём частное решение, соответствующее корню . Подставляем корень в систему (11.9), получаем систему для отыскания неизвестных и :

Эта система имеет множество решений. Возьмём значение , тогда , . Комплексное решение начальной системы имеет вид: , . Используя формулу Эйлера, запишем полученное решение системы в виде

Известно, что действительная и мнимая части полученного решения по отдельности представляют собой решение исходной системы. Таким образом, имеем два действительных решения исходной системы:

, ;