Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента (t- распределение) имеет важное значение при статических вычислениях, связанных с нормальным законом, а именно тогда, когда среднеквадратичное отклонение не известно и еще подлежит определению по опытным данным.

Пусть X и X1, X2, …Xn – независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами:

M[X] = M[X1] = M [X2] = … = M[Xn] = 0

И

Случайная величина:

являющаяся функцией нормально распределенных случайных величин, называется безразмерной дробью Стьюдента. Распределения случайной величины T не зависит от параметров распределения независимых случайных величин X и X1, X2, …Xn, а зависит только от одного параметра – числа степеней свободы r.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины T соответственно равны:

M[T] = 0 D[T] = r > 2

При неограниченном увеличении числа степеней свободы распределения Стьюдента асимптотически переходит в нормальное распределение Гаусса с параметрами

M[T] = 0 и D[T] = 1.

В математической статистике часто используется квантили распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы r и заданного уровня вероятности .

С геометрической точки зрения нахождение квантилей распределения Стьюдента , заключается в таком выборе значения , при котором суммарная площадь под кривой плотности на участках и была бы равно .

Расчеты

Дана выборка:

Количество интервалов Nint=9

Минимальное и максимальное значение выборки:

Ширина подынтервала:

Граничные точки подынтервалов:

Чтобы найти абсолютные частоты отсортируем выборку с помощью функции rsort() и запустим цикл для данной выборки.

Построим гистограмму:

Найдем оценки для математического ожидания и дисперсии:

Для этого найдем середины отрезков данных интервалов:

Найдем математическое ожидание:

Найдем дисперсию и сигму:

Доверительный интервал для мат.ожидания:

Надёжность равна 0.95

Квантили распределения Стьюдента, найденные по таблице:

t=1.98

Левая и правая границы доверительного интервала:

Доверительный интервал для дисперсии при той же надежности:

Квантили распределения Пирсона, найденные по таблице:

Квантиль при 0.975 = 129.6

Квантиль при 0.025 = 74.2

Левая и правая границы доверительного интервала:

Для того чтобы проверить гипотезу о том, что наша выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, найдем теоретические частоты.

Пользуемся функцией Гаусса вида:

Проделаю эту операцию 9 раз, так как у меня 9 подынтервалов:

Найденные частоты:

Проверим данную гипотезу с помощью критерия хи-квадрат Пирсона:

По таблице найдем критическую точку для данной выборки при уровне значимости равным 0.05 и степенями свободы равным k:

k = 6

Где S –количество интервалов, т.е равно 9 и r– количество параметров, для нормального распределения - их 2.

hi kvadrat viborochnaya = 10.535

hi kriticheskaya = 12.592

hi vibor < hi krit

Значит, гипотезу о нормальном распределении выборки принимаем.

Выводы

В ходе работы над первой частью курсовой работы был написан теоретический обзор по точечному и интервальному оцениванию. В работе выполнены расчеты, связанные с нахождение доверительных интервалов для математического ожидания, дисперсии и вероятности. Для заданной генеральной совокупности построены гистограмма, найдены оценки математического ожидания и дисперсии, а также доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии. С помощью критерия согласия Пирсона проверена гипотеза о том, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности. В результате анализа, гипотеза подтвердилась, т.к. получилось, что hi vibor < hi krit. Отсюда следует, что гипотеза о нормальном законе распределения генеральной совокупности верна.

Часть II

Дата добавления: 2015-11-04