Формула Бернyлли

Задачи

1. Двумерная случайная величина (X, Y ) задана законом распреде­ления:

Y X
	0,02	0,12	0,06
	0,03	0,18	0,09
	0,05	0,30	0,15

Найдите законы распределения составляющих X и Y. Найдите ус­ловный закон распределения величины Y при X = 0.

2. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан таблицей

Y X	-1
	0,15	0,3	0,35
	0,05	0,05	0,1

Найдите законы распределения составляющих X и Y. Вычислите ве­роятности Р(Х = 2,

Y = 0), Р(Х > Y). Установите, зависимы или нет составляющие X и Y.

3. Задана функция двумерной случайной величины (X, Y )

F () = ( (х у 0).

Найдите вероятность того, что в результате испытания составляю­щие Х и Y примут значения соответственно X < 1, Y < 3.

4. Двумерная случайная величина (X, Y ) имеет плотность распределения вероятностей

Требуется: 1) определить величину с; 2) найти функцию распреде­ления F(x, у); 3) вычислить вероятность того, что X и Y примут соответственно X и Y примут соответственно значения: X < 4, Y < 5.

5. Найдите плотность совместного распределения р(х,у) системы случайных величин

(X, Y) по известной функции распределения

F(x, у) = sin х ·sin у (0 х /2, 0 у /2).

6. Найдите вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямо­угольник с вершинами

А(), B (), С (), D (), если известна функция распределения

F(x, у) = sin х · sin у (0 х 2, 0 у /2).

Ответы

3. 0,601. 4. с = 20; F(x, y) = p = 9/16

5. 6. 0,08.

Вопросы

1. Что такое двумерная случайная величина?

2. Какие другие названия используют для двумерной случайной величины?

3. Что такое закон распределения дискретной двумерной случайной величины?

4. В каком виде можно записать закон распределения дискретной двумерной случайной величины?

5. Что дает таблица совместного распределения двух дискретных случайных величин?

6. Как, зная закон распределения дискретной двумерной случайной величины, найти законы распределения составляющих?

7. Каким образом по таблице совместного распределения двух дискретных случайных величин можно вычислить математическое ожидание и дисперсию каждой из этих величин?

8. Что называют условным законом распределения дискретной случайной величины X при Y =

9. Как условный закон распределения связан с безусловным законом распределения?

10.Как определяется функция распределения двумерной случайной величины?

11.Каковы свойства функции распределения двумерной случайной величины?

12.Как определяется плотность распределения двумерной случайной величины?

13.Как выражается функция распределения двумерной случайной величины через ее плотность распределения?

14. По каким формулам можно вычислить вероятность попадания значений двумерной случайной величины в заданный прямоугольник?

15. По какой формуле можно вычислить вероятность попадания значений двумерной случайной величины в заданную область?

16. Как определяется независимость двух случайных величин?

17. Как выражается необходимое и достаточное условие независимости двух случайных величин?

18. Что можно сказать о взаимной связи случайных величин X и Y,

зная их числовые характеристики М(Х), M(Y), D{X), D(Y)?

19. Что такое ковариация двух случайных величин?

20. Что называют коэффициентом корреляции?

21. Каковы свойства коэффициента корреляции?

22. Какая связь существует между равенством нулю коэффициента корреляции и независимостью случайных величин?

Глава 3.

Некоторые законы распределения случайных величин

Формула Бернyлли

Производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие А или событие . Если вероятность события А в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события А. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же. Обозначим эту вероятность через р, а вероятность появления события через q (q = 1 – р).

Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно к раз (и не появится n – k раз), обозначим через тогда

(3.1.1)

где

, . (3.1.2)

Формула (3.1.1) называется формулой Бернулли.

Правая часть формулы (3.1.1) представляет собой общий член раз­ложения бинома Ньютона:

(3.1.3)

Поскольку р + q= 1, то из формулы (3.1.3) следует, что сумма всех биномиальных вероятностей равна единице:

. (3.1.4)

Число к₀, которому при заданном п соответствует максимальная би­номиальная вероятность Р„(к₀), называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных пир это число определяется нера­венствами

np - q < k <пр + р. (3.1.5)

Если число пр + р не является целым, то k₀ равно целой части этого числа {k = ); если же пр + р — целое число, то k₀ имеет два зна­чения = np-q, = пр + p.

Вероятность того, что в п опытах схемы Бернулли событие А поя­вится от k до k₂ раз (0 k₂ п) обозначим через , тогда

P_n( k k₂) = P (k) = (3.1.6)

Вероятность Р (1 k п) того, что в п опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой

Р (1 k п)=1-q (3.1.7)

Вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит: а) менее к раз; б) более к раз; в) не менее к раз; г) не более к раз, находят соответ­ственно по формулам:

Р(А) = Р (0)+ Р (1)+...+ Р (к - 1); (3.1.8)

Р(А) = Р (к + 1) + Р (к +2) +... + Р (п); (3.1.9)

(3.1.10)

(3.1.11)

Производится n независимых опытов, каждый из которых имеет: m (m 2) попарно несовместных и единственно возможных исходом с вероятностями одинаковыми во всех опытах (). Для произвольных целых неотрицательных чисел ) обозначим через вероятность того, что в n опытах исход ,

наступит раз, исход раз,..., исход раз, тогда

. (3.1.12)

Формула (3.1.12) определяет полиномиальное распределение вероятностей. Биномиальное распределение (3.1.1) является частным случаем полиномиального распределения при

Пример 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение. Поскольку р = 0,7, то q = 1 – р = 1 – 0,7 = 0,3. По условию n = 5, k = 2, по формуле (3.1.1) находим

Пример 2. Подбрасывается 5 симметричных монет. Найти вероятность того, что: выпало ровно 2 герба; выпало более одного герба.

Решение. Обозначим через X число гербов, выпавших при этих подбрасываниях. В данном случае p = 1/2 и q = ½.

Случайная величина X может принимать следующие значения x = 0, х = 1, х = 2, х = 3,

х = 4, х = 5. Поскольку Р(х > 1) = 1 – Р(х 1) = то

Пример 3. Всхожесть семян данного растения равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение. Искомые вероятности находим с помощью формулы Бернулли

В первом случае п = 4, к = 3, р = 0,9, q= 1 -р= 0,1, поэтому

4 · 0,729 · 0,1 = 0,2916.

Во втором случае событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей . Поскольку , то

Р{А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.

Пример 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах и соответствующую этому числу вероятность.

Решение. Пользуемся неравенствами (3.1.5) и пояснением к ним. Поскольку пр + р =

5 · 0,8 + 0,8 = 4,8 - не целое число, то = [4,8] = 4. Вероятность Р₅ (4) находим по формуле Бернулли:

Р₅ (4) = • 0,2 = 0,4096.

Пример 5. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии со­ставляет 30 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий.

Решение. По условию п = 75, р = 0,3, поэтому q = 1- р = 0,7. Со­ставляем двойное неравенство (3.1.5):

75 • 0,3 - 0,7 75 · 0,3 + 0,3; 21,8 22,8.

отсюда следует, что = 22 ( = [22,8]).

Пример 6. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки в станках не­зависимы, найти вероятность того, что в течение часа внимания рабоче­го потребует какой-либо станок из четырех, обслуживаемых им. Решение. Вероятность данного события найдем по формуле (3.1.1) при п = 4, к = 1, р = 0,6 и q = 1 — р = 0,4:

= 4 · 0,6 · 0,64 = 0,1536.

Пример 7. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми машин, а имеется их десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.

Решение. Автобаза будет работать нормально (событие D). если на линию выйдут или восемь (событие А), или девять (событие В), пли все десять (событие С) автомашин. По теореме сложения вероятностей

P(D)= Р(А) + Р(В)+ Р(С) = .

Каждое слагаемое найдем по формуле Бернулли.

Поскольку вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1, то вероятность выхода автомашины на линию будет раина 0,9, т.е. р = 0,9, q = 0,1. Из условия следует, что п = 10, к = 8, 9, 10. Следова­тельно,

0,1937 + 0,3874 + 0,3487 = 0,9298.

Пример 8. Всхожесть семян составляет в среднем 80 %. Найти наивероятнейшее число всхожих среди девяти семян.

Решение. Число определим с помощью неравенств (3.1.5). По­скольку n = 9, р = 0,8, и q = 0,2, то 9 · 0,8 - 0,2 9 ·0,8 + 0,8 = 8. Получено целое число; значит существует два наивероятнейших числа всхожих семян: 8 и 7. Вероятности их наибольшие и равны между со­бой.

Действительно,

= 36 · 0,2097 · 0,04 ≈ 0,302,

= 9 ∙ 0,1678 ∙ 0,2 ≈ 0,302.

Пример 9. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

Решение. По формуле (3.1.6) при п = 10, на­ходим

Согласно формуле (3.1.7) получим

Пример 10. Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

Дата добавления: 2015-11-04