Поверхности второго порядка

Так как поверхности второго порядка находят особенно широкоеприменение в технике, то здесь мы дадим краткую сводку всех поверхностей второго порядка, включая и те из них, которые были рассмотрены как поверхности вращения или как линейчатые поверхности.

Поверхности, имеющие максимальное число точек пересечения с прямой линией (равное двум) называются поверхностью второго порядка.

Поверхность второго порядка можно определить либо как поверхность, пересекающуюся с произвольной плоскостью по кривой второго порядка (иногда распадающейся на пару прямых или мнимой), либо как поверхность, пересекаемую произвольной прямой, не принадлежащей ей, в двух точках (иногда совпадающих или мнимых).

Рассмотрим отдельные типы поверхностей вращения второго порядка (таблица 1).

Рисунок 5.10

Коническая поверхность второго порядка включает виды: конус вращения и эллиптический конус, который может быть получен из конуса вращения деформацией его параллелей в эллипсы.

Цилиндрическая поверхность второго порядка включает виды: цилиндр вращения, эллиптический, параболический и гиперболический цилиндры. Эллиптический цилиндр может быть получен из цилиндра вращения деформацией его параллелей в эллипсы.

Эллипсоид включает виды: эллипсоид вращения и, в частности, сфера, а также трехосный эллипсоид, который может быть получен из эллипсоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы.

Параболоид включает виды: параболоид вращения, эллиптический и гиперболический параболоиды. Эллиптический параболоид может быть получен из параболоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы. Гиперболический параболоид (косая плоскость или линейчатый параболоид) является линейчатой поверхностью. Гиперболический параболоид может быть получен в результате движения параболы (рисунок 5.10), когда её ось симметрии остается параллельной оси z, вершина перемещается по параболе и плоскость параболы остается параллельной плоскости xoz. При пересечении гиперболического параболоида плоскостью параллельной xoy, получается гипербола, если плоскость проходит через вершину О, то пересекается по двум прямым, проходящим через точку О.

Однополостный гиперболоид включает виды: однополостный гиперболоид вращения и однополостный эллиптический гиперболоид. Последний может быть получен из первого деформацией его параллелей в эллипсы, а также непосредственно движением прямолинейной образующей по трем прямолинейным направляющим.

Отметим, также, что все поверхности второго порядка, за исключением параболического и гиперболического цилиндров, а также гиперболического параболоида, могут пересекаться плоскостью по окружности, т. е. имеют круговые сечения.

Таблица 1 – Поверхности вращения второго порядка

№ п/п	Название поверхности	Чертеж и наглядное изображение поверхности
	Эллипсоид вращения
	Цилиндрическая поверхность вращения
	Коническая поверхность вращения
	Однополостный гиперболоид вращения
	Двуполостный гиперболоид вращения
	Параболоид вращения

Дата добавления: 2015-11-04