Свойства рациональных дробей.

Множество рациональных дробей

Эвристические соображения.

В анализе изучаются дробно-рациональные функции вида , где − многочлены. Далее будем рассматривать как формальные выражения. При этом используем обычные формулы для сложения:

, где ,

умножения:

,

и условие равенства дробей:

.

Обычно две равные дроби определяют одну и ту же рациональную функцию.

Точные определения.

Определение 1. Для пары многочленов , где , символ называется рациональной дробью с числителем и знаменателем .

Замечание. Здесь используется термин «символ», так как мы не делим многочлены, хотя иногда их можно разделить без остатка.

Определение 2. Рациональные дроби и называются равными, если выполняется равенство

.

(1)

Свойства рациональных дробей.

1) дробь равна самой себе.

2) Свойство транзитивности: если и .

Действительно, если , . Далее после деления на получаем доказываемое равенство.

Объединим все равные между собой дроби в один класс. Тогда множество всех рациональных дробей разбивается на непересекающиеся классы равных между собой дробей. На множестве этих классов определим операции сложения и умножения, а далее проверим корректность вводимых операций.

Лемма 1. Рациональная дробь превращается в равную дробь, если её знаменатель и числитель умножаются или сокращаются на один и тот же многочлен, отличенный от нуля.

Доказательство. Действительно, так как из и можно разделить на , то получаем, что операция не выводит из класса равных дробей. ■

Сложениеклассоврациональных дробей определим следующим образом: в классах-слагаемых выбираются представители и , которые складываются по обычным правилам:

	(2)
Так как

В качестве суммы классов рассматривается класс рациональных дробей, равных дроби из правой части (2).

Докажем корректность введенной операции сложения, то есть покажем, что если складывать дробь одного класса с дробью другого класса, то результаты всегда лежат в одном и том же третьем классе. Действительно, пусть

, | умножая первое равенство на , а второе на и складывая | , что и требовалось доказать.■

Умножение классов рациональных дробей определяется аналогично их сложению и задается формулой

(3)

Так как

.

Покажем, что данная операция над классами корректно определена, т.е. произведение дроби одного класса на дробь другого класса дает дроби из одного и того же третьего класса.

Пусть , , что и требовалось доказать.

Введенные операции сложения и умножения классов рациональных дробей удовлетворяет следующим свойствам:

1) ассоциативность сложения и умножения. Ассоциативность сложения доказывается прямыми вычислениями, а ассоциативность умножения из (3);

2) коммутативность сложения и умножения. Коммутативность сложения классов из (2), коммутативность умножения классов из (3);

3) дистрибутивность умножения относительно сложения (доказывается прямыми вычислениями).

4) дроби вида равны между собой и образуют нулевой класс. Это класс является нулем относительно сложения, то есть .

5) Из равенства существование противоположного класса.

6) элементы вида образуют класс, являющийся единицей.

7) если не принадлежит нулевому классу, то есть определён класс − обратный класс к .

Множество классов равных между собой рациональных дробей с коэффициентами многочленов из С с введенными операциями сложения и умножения обозначается и называется множеством рациональных дробей.

Определение 3. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Замечание. Дроби вида являются правильными.

Лемма 2. Всякая рациональная дробь представима, притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Доказательство. Пусть дана рациональная дробь . Разделим на : , где . Если наряду с полученным равенством имеет место . Слева – многочлен, справа – правильная дробь , что и требовалось доказать. ■

Напоминание. Над неприводимые многочлены имеют вид: , и , то есть многочлен записывается в виде Над неприводимыми являются многочлены вида .

Определение 4. Правильная рациональная дробь называется простейшей, если её знаменатель является степенью неприводимого многочлена , то есть , и .

Теорема 1. Всякая правильная дробь разлагается в сумму простейших.

Доказательство. Вначале рассмотрим правильную рациональную дробь , где − взаимно простые, то есть . Тогда найдутся многочлены такие, что . Отсюда .

Разделим на с остатком: пусть − остаток, то есть справедливо представление

,

(4)

где − многочлен. Так как и Тогда из (4) следует, что , где справа стоит сумма правильных дробей.

Если хотя бы один из знаменателей разлагается в произведение взаимно простых множителей, то можно выполнить дальнейшее разложение. Продолжая далее, получаем, что всякая правильная дробь разлагается в сумму нескольких правильных дробей, каждая из которых имеет знаменателем степень некоторого неприводимого многочлена. А именно, если для имеем, что , где , если , то

,

где справа стоят правильные дроби.

Осталось рассмотреть правильную дробь , где p(x) – неприводимый многочлен. Применим алгоритм деления с остатком и разделим на , затем остаток разделим на , и так далее. Имеем:

Так как степень меньше, чем степень , а степень каждого из остатков меньше степени , то степень всех частных меньше, чем степень . Степень последнего остатка меньше, чем степень , откуда следует, что

,

то есть получаем:

,

то есть получено искомое представление. ■

Следствие. Всякая правильная рациональная дробь обладает единственным разложением в сумму простейших дробей.

Доказательство. Пусть это неверно. Тогда вычитая из одного разложения другое, получаем после приведения подобных сумму простейших дробей, тождественно равную нулю. Пусть знаменатели простейших дробей содержат неприводимые многочлены , причём максимальная степень каждого соответственно. Умножим всю сумму на . Тогда все слагаемые, кроме одного – многочлены и осталось слагаемое . Так как многочлены − неприводимы и значит взаимно просты, а , то числитель не делится на знаменатель, получили противоречие, так как нуль представлен в виде суммы многочлена и правильной дроби. ■

Пример. Представим в виде суммы простейших дробей, где

.

Здесь и значит разложение дроби на сумму простейших имеет вид: .

После приведения к общему знаменателю суммы, стоящей в правой части равенства, и приравнивания числителей, получаем:

.

При различных значениях отсюда получаются уравнения на неизвестные коэффициенты :

Таким образом, искомое разложение имеет вид:

.

---

Дата добавления: 2015-11-03