Трансцендентные линии

Трансцендентные линии – линии, которые задаются не алгебраическим уравнением. Среди неалгебраических уравнений те уравнения, в которых переменная, рассматриваемая как неизвестная, входят под знаком трансцендентных функции и называются трансцендентными уравнениями. Кривые определяемыми трансцендентными уравнениями называются неалгебраическими или трансцендентными.

Эвольвента – плоская кривая, являющаяся траекторией любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Для построения точек эвольвенты окружность делят на равные части (рисунок 4.11, а). Через каждую точку деления проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону. На касательной, проведенной через последнюю точку деления окружности, откладывают отрезок, равный длине окружности 2πR, который делят на столько же равных частей. На первой касательной откладывают одно деление 2πR/n, на второй – два и т.д.

Полученные точки соединяют плавной кривой по лекалу, получают эвольвенту окружности.

а)	б)

Рисунок 4.11

Спираль Архимеда – траектория точки, движущейся с постоянной скоростью от центра окружности по радиусу, вращающемуся также с постоянной угловой скоростью (рисунок 4.11 б).

Для построения ее радиус окружности и окружность делят на одинаковое число равных частей; лучи проводят из центра через точки деления окружности. Откладывая на первом луче одно деление радиуса, на втором – два и т. д., получают ряд точек спирали, которые затем соединяют по лекалу.

Синусоида – плоская кривая, изображающая изменение синуса в зависимости от изменения его угла. Для построения синусоиды необходимо окружность разделить на равные части. Напримере (рисунок 4.12) окружность разделена на 12 равных частей.

Рисунок 4.12

Отрезок прямой АВ=2πR также необходимо разделить на такое же число равных частей. Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии. В пересечении этих линий получим точки, принадлежащие синусоиде.

Циклоида – незамкнутая плоская кривая, которую описывает точка, лежащая на окружности, катящейся по прямой линии без скольжения (рисунок 4.13). Для построения циклоиды заданную окружность делят на n частей, длину окружности (АА₁ = 2πR) делят на такое же число частей (в нашем случае на 12). Восстанавливая перпендикуляры из точек деления прямой АА₁ находим центры (О_1, О₂ и др.) катящейся окружности в пересечении с горизонтальной прямой проходящей через центр заданной окружности.

Рисунок 4.13

Из точек деления окружности проведем параллельные АА₁ горизонтальные прямые, а из центров окружности проводим дуги до пересечения с горизонтальными прямыми и получим точки принадлежащие циклоиде. Прямая соединяющая точку 7 (принадлежащая прямой АА₁) с точкой М является нормалью циклоиды в данной точке, а перпендикуляр к ней – касательная.

Эпициклоида * – плоская кривая, которую описывает точка лежащая на окружности при ее качении без скольжения снаружи направляющей окружности (рисунок 4.14, а). Зная радиус окружности r и радиус направляющей окружности R, определяют центральный угол α =180⁰r/R

Это важно для симметричного расположения эпициклоиды. Для построения эпициклоида заданную окружность и дугу направляющей окружности (АА₁) делят на равные части (в нашем случае на 12), находим центры (О_1, О₂ и др.) катящейся окружности. Точки принадлежащие эпициклоиде определяют на пересечении дуг.

а)	б)

Если центральный угол определен, то делят не направляющую окружность АА₁, а непосредственно линию центров. Прямая соединяющая точку 8 (принадлежащая дуге АА₁) с точкой М является нормалью эпициклоиды в данной точке, а перпендикуляр к ней – касательная.

Гипоциклоида ** – плоская кривая, которую описывает точка лежащая на окружности при ее качении без скольжения внутри направляющей окружности (рисунок 4.14, в). Зная радиус окружности r и радиус направляющей окружности R, определяют центральный угол α =180⁰r/R. Построение гипоциклоиды аналогично, что и для эпициклоиды.

в)	г)

Рисунок 4.14

* При R= r эпициклоида будет замкнутой кривой линией - кардиоидой.

** При 2R= r гипоциклоида будет иметь четыре полных ветви и будет замкнутой кривой линией – астроидой.

Дата добавления: 2015-11-03