|
Читайте также: |
Перейдём к общему определению производной. Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке. Зафиксируем какую-нибудь точку х из этого промежутка и возьмём число 0n (мал), так, чтобы точка х+0n также лежала в этом промежутке. Рассмотрим разность значений функции в точках х+0n и х, то есть f(х+0n) – f(x). Составим дробь
.
Числитель этой дроби — приращение функции f в точках х+0n и х, а знаменатель — приращение аргумента х + 0n и х. В этом случае говорим, что функция f(x) имеет в точке х производную, равную данному отношению. Производная обозначается так: 
(читается: «эф штрих от икс»).
Производной функции f(x) в точке х называется отношение приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента равно числу мал.
Теорема 2. Показательная функция 
дифференцируема в каждой точке и 
Доказательство. Найдём сначала приращение функции 
:
В приращении функции необходимо найти величину числа е в степени числа мал. Иррациональное число е играет важную роль в математике и её приложениях. Число е можно определить как предел последовательности
.
Примем величину 
равной конечному числу тьма, возведём число е в степень мал и делая равносильные преобразования, получим конечный результат
Подставим полученную величину 
в приращение функции, получим
.
Пользуясь определением производной функции, находим:
. Итак доказали
Теорема 3. Тригонометрическая функция sin x дифференцируема в каждой точке и 
.
Доказательство.
Согласно выше данного определения производной функции и свойств чисел тьма, мал создадим отношение
Теорема 4. Производная степенной функции при натуральном показателе n определяется по формуле
Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 48 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Число тьма в формуле определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. | | | Доказательство. |