|
Читайте также: |
1 семестр, 36 лекц., 32 практ. занятия,
2 семестр 22 лекц., 20 практ. занятия,
3 семестр 20 лекц., 18 практ. занятия,
4 семестр 20 лекц., 16 практ. занятия.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
| № п/п Наименование раздела, темы дисциплины | Содержание в соответствии с типовой учебной программой (учебной программой) |
| 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия | 1. Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование матрицы.
2. Определители 2 и 3 порядка и их свойства. Определитель n -го порядка.
3. Обратная матрица и её построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы.
4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элементарными преобразованиями.
5. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод решения невырожденных систем. Формулы Крамера. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
6. Декартова система координат. Векторы в пространстве и линейные операции над ними. Условие коллинеарности векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса. Координаты вектора.
7. Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Скалярное произведение в координатной форме. Условие перпендикулярности двух векторов.
8. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства, етатриический и физический смысл. Векторное произведение в координатной форме.
9. Смешанное произведение векторов, его геометрический и механический смысл. Условие компланарности трёх векторов.
10. Кривая на плоскости и способы её задания. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
11. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Приложения геометрических свойств этих кривых. Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.
12. Плоскость в пространстве и различные формы её задания. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
13. Прямая в пространстве и способы её задания. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
14. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр. Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей. Общее уравнение поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности. |
| 2. Введение в математический анализ | I. Множества и действия над ними. Элементы математической логики. Логические символы. Необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы. Метод математической индукции. Бином Ньютона. 2. Поле действительных чисел. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Наибольший и наименьший элементы числового множества. Верхняя и нижняя грани числового множества. 3. Понятие предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности, критерий их сходимости. Число е. Натуральные логарифмы. 4. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 5. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы. 6. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции и их применение к вычислению пределов. 7. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Теорема Коши о промежуточном значении. Обратная функция и её непрерывность. |
| 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной | 1. Производная функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. 2. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции. 3. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 4. Теоремы Лагранжа и Коши. Виды неопределённостей. Правило Лопиталя. 5. Формула Тейлора и различные формы её остаточного члена. Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора и их приложения. 6. Монотонность и экстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика. 7. Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Понятие об эволюте и эвольвенте. Векторная функция скалярного аргумента: определение, предел, непрерывность. Дифференцирование векторной функции. Геометрический и механический смысл производной. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе |
| 4. Интегральное исчисление функций одной переменной | 1. Первообразная функция. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов. Замена переменной в неопределённом интеграле и интегрирование по частям. 2. Интегрирование рациональных функций разложением на сумму простых дробей. 3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции и некоторые иррациональные функции. 4. Понятие определённого интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций. Интегрирование непрерывных и кусочно-непрерывных функций. 5. Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. 6. Замена переменной в определённом интеграле. Формула интегрирования по частям определённого интеграла. 7. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площадей плоских фигур; объемов тел; длин дуг; площадей поверхностей вращения. 8. Физические приложения определённых интегралов: вычисление работы; пути; давления; массы; центра тяжести; статических моментов и моментов инерции. 9. Несобственные интегралы первого и второго рода. Определения, признаки сходимости, абсолютная и условная сходимость |
| 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных | 1. Множества на плоскости и в пространстве. Функции многих переменных (ФМП). Предел ФМП в точке и его свойства. Повторные пределы. Непрерывность ФМП в точке и на множестве. 2. Частные производные ФМП. Дифференциал ФМП и его связь с частными производными. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. 3. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению ФМП и градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. 4. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФМП. Понятие неявной ФМП, её существование и дифференцирование. 5. Понятие экстремума ФМП. Необходимое и достаточное условие экстремума. Метод наименьших квадратов. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа. |
| 6. Интегральное исчисление функций многих переменных | 1. Определение двойного интеграла и его свойства. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Перемена порядка интегрирования в повторном интеграле. 2. Тройной интеграл, его определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат. 3. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Двойной интеграл в полярной системе координат. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат. 4. Приложения кратных интегралов: вычисление объёмов; площадей; статических моментов; центра тяжести; моментов инерции. 5. Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов первого рода. Приложения криволинейных интегралов первого рода. 6. Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Приложения криволинейных интегралов второго рода. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода. 7. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. 8. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода, его вычисление, свойства, приложения. 9. Нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация двусторонней поверхности. Поверхностный интеграл второго рода, его вычисление и свойства. Формулы Остроградского и Стокса. Связь ПОВИ-1 и ПОВИ-2. |
| 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения | 1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Общее и частное решение ДУ. ДУ 1-го порядка. Задача Коши для ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ первого порядка. Метод изоклин. 2. Примеры ДУ первого порядка, интегрируемых в квадратурах: с разделяющимися переменными; однородные; в полных дифференциалах; линейное; Бернулли. 3. Общие понятия о ДУ высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понятие о краевых задачах. Линейные однородные ДУ и свойства их решений. Структура общего решения неоднородных линейных ДУ высших порядков. 4. Линейные однородные ДУ высших порядков, свойства их решений. Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных. 5. Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Линейное неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами. 6. Устойчивость по Ляпунову решений линейных систем второго порядка. Устойчивость нелинейных систем по первому приближению. Фазовая плоскость и особые точки двумерных систем. |
| 8. Векторный анализ и элементы теории поля | 1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения. 2. Потенциальное поле. Потенциальная функция поля. Поток векторного поля. 3. Дивергенция векторного поля. Физический смысл формулы Остроградского. 4. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция и ротор векторного поля. Физический смысл формулы Стокса. 5. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. Дифференциальные операции первого и второго порядков в цилиндрических и сферических координатах. |
| 9. Интегралы, зависящие от параметра | 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Их непрерывность, дифференцирование и интегрирование. 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (НИЗОП). Равномерная сходимость НИЗОП, признак Вейерштрасса. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости НИЗОП. 3. Гамма-функция, ета-функция и их применение |
| 10. Числовые и функциональные ряды. | 1. Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости ряда: признаки сравнения; признаки Даламбера и Коши; интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. 2. Функциональные ряды, сумма ряда и область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда. 3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда. 4. Ряды Тейлора. Теорема о единственности разложения функций в ряд Тейлора. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. 5. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений, вычислению определенных интегралов. |
| 11. Ряд и интеграл Фурье | 1. Ортогональность тригонометрической системы функций. Тригонометрический ряд Фурье. Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье. Ряд Фурье для функций с периодом 2p, и для функций с произвольным периодом. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме. 2. Интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье и их свойства. Комплексная форма интеграла Фурье. |
| 12. Элементы теории функций комплексной переменной | 1. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. 2. Производная функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие аналитической функции, условия Коши-Римана. Связь аналитических и гармонических функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные преобразования. 3. Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши и интегральная формула Коши. 4. Функциональные ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной области: теорема Абеля; радиус и круг сходимости. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. Нули аналитических функций и их классификация. 5. Ряд Лорана и область его сходимости. Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки. 6. Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов к вычислению определённых интегралов. |
| 13. Операционное исчисление | 1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства преобразования Лапласа: линейность; подобие; дифференцирование оригинала и изображения; интегрирование оригинала и изображения; запаздывание оригинала; смещение изображения; изображение свёртки. Формула обращения преобразования Лапласа. Теорема разложения. 2. Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, уравнений с частными производными. |
| 14. Уравнения математической физики. | 1. Вывод основных уравнений математической физики: колебаний струны; теплопроводности. 2. Методы Даламбера и Фурье решения уравнений математической физики. 3. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье. 4. Метод сеток решений уравнений математической физики. |
| 15. Теория вероятностей | 1. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения и сочетания. 2. Пространство элементарных событий, алгебра событий. Относительная частота и вероятность события. Аксиоматическое и классическое определения вероятности. Теоремы сложения и умножения. 3. Условная вероятность. 3ависимые и независимые события. Формула полной вероятности, формулы Байеса. 4. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Случайные величины. Функция распределения случайной величины, ее свойства. Дискретные случайные величины, полигон распределения. Непрерывные случайные величины, функция и плотность распределения. 5. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Моменты случайной величины. 6. Основные законы распределения. Биномиальный закон распределения, закон распределения Пуассона, равномерный закон распределения, показательный закон распределения, нормальный закон распределения. Функция Лапласа, правило трёх сигм. 7. Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенства Маркова и Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова. 8. Системы случайных величин (случайные векторы). Функция и плотность распределения систем двух случайных величин, их свойства. Вероятность попадания случайной точки в заданную область. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики систем случайных величин. Начальные и центральные моменты. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. |
| 16. Математическая статистика | 1. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистические ряды. Числовые характеристики выборки. Полигон и гистограмма.
2. Основные статистические распределения:  - распределение, распределение Фишера и Стьюдента. -Пирсона, А. Н. Колмогорова.
5. Понятие о регрессионном и корреляционном анализе. Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.
6. Нелинейная регрессия. Корреляционное отношение
|
4. Учебно-методическая карта дисциплины «Математика»
| Номер раздела, занятия | Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов | Количество аудиторных часов | Методические пособия, средства обучения (оборудование, учебно-наглядные пособия и др.) | Литература | Формы контроля | |||
| Лекции | практические (семинарские) занятия | Лабораторные занятия | управляемая (контролируемая) самостоятельная работа студента Управляемая самостоятельная работа | |||||
| 1. | Линейная алгебра и аналитическая геометрия | |||||||
| Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. 1. Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование матрицы. 2. Определители 2 и 3 порядка и их свойства. Определитель n -го порядка. 3. Обратная матрица и её построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. 4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элементарными преобразованиями. 5. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод решения невырожденных систем. Формулы Крамера. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений | ||||||||
| Векторы и операции над ними. 6. Декартова система координат. В екторы в пространстве и линейные операции над ними. Условие коллинеарности векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса. Координаты вектора. 7. Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Скалярное произведение в координатной форме. Условие перпендикулярности двух векторов. 8. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства, етатриический и физический смысл. Векторное произведение в координатной форме. 9. Смешанное произведение векторов, его геометрический и механический смысл. Условие компланарности трёх векторов. | ||||||||
| Прямая и кривык второго порядка на плоскости. 10. Кривая на плоскости и способы её задания. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. 11. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Приложения геометрических свойств этих кривых. Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах. | ||||||||
| Прямая и плоскость в пространстве. 12. Плоскость в пространстве и различные формы её задания. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. 13. Прямая в пространстве и способы её задания. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. | ||||||||
| Поверхности второго порядка. Линейные пространства.
14. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр. Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей. Общее уравнение поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности. | ||||||||
| Евклидово пространство. 16. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису. 17. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах. | ||||||||
| 2. | Введение в математический анализ | [1, 3-6] | ||||||
| Множества и действия над ними. Понятие предела числовой последовательности. Предел функции. I. Множества и действия над ними. Элементы математической логики. Логические символы. Необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы. Метод математической индукции. Бином Ньютона. 2. Поле действительных чисел. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Наибольший и наименьший элементы числового множества. Верхняя и нижняя грани числового множества. 3. Понятие предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности, критерий их сходимости. Число е. Натуральные логарифмы. 4. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. | ||||||||
| Непрерывность функции в точке и на отрезке 5. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы. 6. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции и их применение к вычислению пределов. 7. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Теорема Коши о промежуточном значении. Обратная функция и её непрерывность. | ||||||||
| Дифференциальное исчисление функции одной переменной. | [1, 3-6] | |||||||
| Производная и дифференциал функции. 1. Производная функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. 2. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции. | ||||||||
| Производные и дифференциалы высших порядков. 3. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 4. Теоремы Лагранжа и Коши. Виды неопределённостей. Правило Лопиталя. 5. Формула Тейлора и различные формы её остаточного члена. Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора и их приложения. 6. Монотонность и экстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика. | ||||||||
| Кривизна плоской кривой. Дифференцирование векторной функции. 7. Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Понятие об эволюте и эвольвенте. Векторная функция скалярного аргумента: определение, предел, непрерывность. Дифференцирование векторной функции. Геометрический и механический смысл производной. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе. | ||||||||
| 4. | Интегральное исчисление функции одной переменной. | |||||||
| Неопределённый интеграл. 1. Первообразная функция. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов. Замена переменной в неопределённом интеграле и интегрирование по частям. 2. Интегрирование рациональных функций разложением на сумму простых дробей. 3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции и некоторые иррациональные функции. | ||||||||
| Определённый интеграл. 4. Понятие определённого интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций. Интегрирование непрерывных и кусочно-непрерывных функций. 5. Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница. 6. Замена переменной в определённом интеграле. Формула интегрирования по частям определённого интеграла. | ||||||||
| Приложения опркеделенного интеграла. Несобственные интегралы. 7. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площадей плоских фигур; объемов тел; длин дуг; площадей поверхностей вращения. 8. Физические приложения определённых интегралов: вычисление работы; пути; давления; массы; центра тяжести; статических моментов и моментов инерции. 9. Несобственные интегралы первого и второго рода. Определения, признаки сходимости, абсолютная и условная сходимость | ||||||||
| 5. | Дифференциальное исчисление функций многих переменных. | |||||||
| Множества на плоскости и в пространстве. Частные производные ФМП. Линии и поверхности уровня. 1. Множества на плоскости и в пространстве. Функции многих переменных (ФМП). Предел ФМП в точке и его свойства. Повторные пределы. Непрерывность ФМП в точке и на множестве. 2. Частные производные ФМП. Дифференциал ФМП и его связь с частными производными. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. 3. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению ФМП и градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных | ||||||||
| Частные производные и дифференциалы высших порядков 4. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФМП. Понятие неявной ФМП, её существование и дифференцирование. | ||||||||
| Понятие экстремума ФМП. 5. Понятие экстремума ФМП. Необходимое и достаточное условие экстремума. Метод наименьших квадратов. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа. | ||||||||
| Итого за 1 семестр | ||||||||
| 6. | Интегральное исчисление функций многих переменных. | |||||||
| Кратные интегралы. 1. Определение двойного интеграла и его свойства. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Перемена порядка интегрирования в повторном интеграле. 2. Тройной интеграл, его определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат | ||||||||
| Замена переменных в кратных интегралах. 3. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Двойной интеграл в полярной системе координат. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат. | ||||||||
| Приложения кратных интегралов. Криволинейные интегралы. 4. Приложения кратных интегралов: вычисление объёмов; площадей; статических моментов; центра тяжести; моментов инерции. 5. Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов первого рода. Приложения криволинейных интегралов первого рода. 6. Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Приложения криволинейных интегралов второго рода. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода. | ||||||||
| . Формула Грина. Площадь поверхности. 7. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. 8. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода, его вычисление, свойства, приложения. 9. Нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация двусторонней поверхности. Поверхностный интеграл второго рода, его вычисление и свойства. Формулы Остроградского и Стокса. Связь ПОВИ-1 и ПОВИ-2. | ||||||||
| 7. | Обыкновенные дифференциальные уравнения. | |||||||
| Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Общее и частное решение ДУ. ДУ 1-го порядка. Задача Коши для ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ первого порядка. Метод изоклин. 2. Примеры ДУ первого порядка, интегрируемых в квадратурах: с разделяющимися переменными; однородные; в полных дифференциалах; линейное; Бернулли. | ||||||||
| Общие понятия о ДУ высших порядков. 3. Общие понятия о ДУ высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понятие о краевых задачах. Линейные однородные ДУ и свойства их решений. Структура общего решения неоднородных линейных ДУ высших порядков. 4. Линейные однородные ДУ высших порядков, свойства их решений. Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных. | ||||||||
| Линейные однородные системы ДУ. 5. Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Линейное неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами. 6. Устойчивость по Ляпунову решений линейных систем второго порядка. Устойчивость нелинейных систем по первому приближению. Фазовая плоскость и особые точки двумерных систем. | ||||||||
| 8. | Векторный анализ и элементы теории поля. | |||||||
| Векторный анализ и элементы теории поля 1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения. 2. Потенциальное поле. Потенциальная функция поля. Поток векторного поля. 3. Дивергенция векторного поля. Физический смысл формулы Остроградского. 4. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция и ротор векторного поля. Физический смысл формулы Стокса. 5. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. Дифференциальные операции первого и второго порядков в цилиндрических и сферических координатах. | ||||||||
| 9. | Интегралы, зависящие от параметра | |||||||
| Интегралы, зависящие от параметра 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Их непрерывность, дифференцирование и интегрирование. 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (НИЗОП). Равномерная сходимость НИЗОП, признак Вейерштрасса. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости НИЗОП. 3. Гамма-функция, ета-функция и их применение | ||||||||
| 10. | Числовые и функциональные ряды. | |||||||
| Числовые ряды 1. Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости ряда: признаки сравнения; признаки Даламбера и Коши; интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. 2. Функциональные ряды, сумма ряда и область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда. | ||||||||
| Степенные ряды. 3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда. 4. Ряды Тейлора. Теорема о единственности разложения функций в ряд Тейлора. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. 5. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений, вычислению определенных интегралов. | ||||||||
| Итого за 2 семестр | ||||||||
| 11. | Ряд и интеграл Фурье | |||||||
| Ряд Фурье. 1. Ортогональность тригонометрической системы функций. Тригонометрический ряд Фурье. Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье. Ряд Фурье для функций с периодом 2p, и для функций с произвольным периодом. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме. | ||||||||
| Интеграл Фурье. 2. Интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье и их свойства. Комплексная форма интеграла Фурье. | ||||||||
| 12. | Элементы функции комплексной переменной | |||||||
| Функции комплексной переменной 1. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. 2. Производная функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие аналитической функции, условия Коши-Римана. Связь аналитических и гармонических функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные преобразования. 3. Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши и интегральная формула Коши. | ||||||||
| Функциональные ряды в комплексной области 4. Функциональные ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной области: теорема Абеля; радиус и круг сходимости. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. Нули аналитических функций и их классификация. 5. Ряд Лорана и область его сходимости. Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки. 6. Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов к вычислению определённых интегралов. | ||||||||
| 13. | Операционное исчисление | |||||||
| Преобразование Лапласа. 1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства преобразования Лапласа: линейность; подобие; дифференцирование оригинала и изображения; интегрирование оригинала и изображения; запаздывание оригинала; смещение изображения; изображение свёртки. Формула обращения преобразования Лапласа. Теорема разложения. | ||||||||
| Применение преобразования Лапласа. 2. Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, уравнений с частными производными. | ||||||||
| 14. | Уравнения математической физики. | |||||||
| 1. Вывод основных уравнений математической физики: колебаний струны; теплопроводности. | ||||||||
| 2. Методы Даламбера и Фурье решения уравнений математической физики. | ||||||||
| 3. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье. | ||||||||
| 4. Метод сеток решений уравнений математической физики. | ||||||||
| Итого за 3 семестр | ||||||||
| 15. | Теория вероятностей | |||||||
| Введение в ТВ. 1. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения и сочетания. 2. Пространство элементарных событий, алгебра событий. Относительная частота и вероятность события. Аксиоматическое и классическое определения вероятности. Теоремы сложения и умножения. | ||||||||
| Условная вероятность. 3. Условная вероятность. 3ависимые и независимые события. Формула полной вероятности, формулы Байеса. | ||||||||
| Случайные величины. 4. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Случайные величины. Функция распределения случайной величины, ее свойства. Дискретные случайные величины, полигон распределения. Непрерывные случайные величины, функция и плотность распределения. | ||||||||
| Основные характеристики случайных величин. 5. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Моменты случайной величины. 6. Основные законы распределения. Биномиальный закон распределения, закон распределения Пуассона, равномерный закон распределения, показательный закон распределения, нормальный закон распределения. Функция Лапласа, правило трёх сигм. | ||||||||
| Закон больших чисел и предельные теоремы. Системы случайных величин. 7. Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенства Маркова и Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова. 8. (случайные векторы). Функция и плотность распределения систем двух случайных величин, их свойства. Вероятность попадания случайной точки в заданную область. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики систем случайных величин. Начальные и центральные моменты. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. | ||||||||
| 16. | Математическая статистика | |||||||
| Задачи математической статистики. 1. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистические ряды. Числовые характеристики выборки. Полигон и гистограмма. | ||||||||
| 2. Основные статистические распределения: - распределение, распределение Фишера и Стьюдента.
| ||||||||
| Статистические оценки параметров. 3. Статистические оценки параметров. Точечные и интервальные оценки. Методы нахождения точечных оценок: метод моментов Пирсона, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов. Интервальные оценки: доверительный интервал, уровень значимости. Доверительный интервал для математического ожидания при известной и неизвестной дисперсии. | ||||||||
| Статистическая проверка гипотез.
4. Статистическая проверка гипотезы. Ошибки первого и второго родов. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий. Критерии согласия Неймана-Пирсона, -Пирсона, А. Н. Колмогорова.
| ||||||||
| Понятие о регрессионном и корреляционном анализе. 5. Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов. 6. Нелинейная регрессия. Корреляционное отношение | ||||||||
| Итого за 4 семестр | ||||||||
| Итого по дисциплине |
Дата добавления: 2015-10-24; просмотров: 40 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Цель и задачи учебной дисциплины | | | ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ |