Общая постановка

Max f (x(1), x(2), …, x(n)); (1)

g(i) [x(1), x(2), …, x(n) ] = b(i), (i = 1,…,m). (2)

Введём набор переменных λ(1), λ(2),,…, λ(m) - множители Лагранжа.

Составляем функцию Лагранжа

F (x(1), x(2), …, x(n), λ(1), λ(2),,…, λ(m)) =

(3)

= f (x(1), x(2), …, x(n) + ∑ λ(i) * [ b (i) – g (i) [ x(1), x(2), …, x(n)]

Находим частные производные

∂ F ∂ F

---------- (j = 1,…,n); ------- (i = 1,…,m)

∂ x (j) ∂ λ(i)

Рассматриваем систему n + m уравнений

∂ F m ∂ g(i)

--------- = ∑ λ(i) * --------

∂ x (j) i ∂ x(i) (4)

∂ F

------ = b (i) – g (i) [ x(1), x(2), …, x(n)]

∂ λ(i)

Продолжение решения задачи:

2 2

Min f = 4 x(1) + x(1) + 8 x (2) + x(2) (5)

x(1) + x(2) = 180 (6)

x(1),x(2) ≥ 0 (7)

Функция Лагранжа для этого примера:

2 2

F (x1,x2, λ) = 4x(1) + x(1) + 8 x(2) + x(2) + λ (180 – x (1) – x (2))

Вычисляем частные производные по х(1), х(2), λ и приравниваем их «0».

∂ F

-------- = 4 + 2х(1) – λ =0

∂ x (1)

∂ F

--------- = 8 + 2х (2) – λ =0 }

∂ x (2)

∂ F

------ = 180 – x(1) – x (2) = 0, отсюда (8)

∂ λ

4 + 2х(1) = 8 +2х(2) или х(1) + х(2), решая совместно (8) получаем

х(1)опт = 91, х(2) опт = 89

Используя вторые частные производные, убеждаемся, что в этой точке функция f имеет минимум

Задание:

Надо изготовить 200 изделий

На первом предприятии затраты на х изделий раны 4* х(1)

На втором 20 х(2) + 6 х (2))

Сколько изделий изготовить на каждом предприятии, чтобы общие затраты были минимальны?

Имитационное моделирование

Требования к имитационной модели:

-целенаправленность, цель – решение задачи для которого есть критерий оптимальности, введены ограничения на переменные и сформулированы зависимости между переменными,

-проста и понятна пользователю,

-гарантирует отсутствие абсурдных ответов,

-полна по возможностям решения главной задачи,

-позволяет обновлять данные,

-допускает постепенное усложнение или изменение последовательности решения.

Этапы процесса моделирования:

1. Описание проблемы

2. Анализ системы – установление границ, ограничений и показателей эффективности системы.

3. Конструирование модели – логической схемы.

4. Отбор данных для построения модели.

5. Описание модели на языке EXEL.

6. Оценка адекватности модели реальной системе.

7. Планирование эксперимента.

8. Серия испытаний – алгоритм проведения расчётов.

9. Имитация и оценка чувствительности.

10. Выводы о результатах моделирования

ВЫБОР КРИТЕРИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ

Задача:

Пусть предприятие располагает финансовыми средствами для

строительства своих филиалов

Сколько филиалов построить в районе?

2,3,4 или 5?

Составляем смету затрат на строительство:

Мощность филиала может в зависимости от спроса использоваться на R%, однако точных данных о использовании мощности в будущем не имеется

Определяем чистую прибыль «Приб» каждого варианта в усл. единицах и построим таблицу

Среда → спрос -цена

R(1)=0 R=20% R=40% R=60% R=80% R(6)=100%

с f=2 -121 62 245 245 245 245 п

т f=3 -168 15 200 380 380 380 р

р f=4 -216 -35 150 332 515 515 и

а f=5 -300 -85 101 284 467 650 б

т ы

е ли

г

и

я

Математическая модель в условиях неопределённости можно сформулировать:

Имеется матрица размерностью m * n. Элемент матрицы рассматриваем как полезность результата R(j) при использовании стратегии f (i) выбора менеджером, который имеет право по известному ему критерию и факторам влияющим на условия выбора сделать этот выбор.

Выбор стратегии – прерогатива менеджера и его предположения о вероятном состоянии среды называют субъективными вероятностями

КРИТЕРИЙ ВАЛЬДА -

- самый осторожный вариант. Этот критерий оптимизирует полезность(прибыль) в предположении, что среда находится в самом невыгодном для предприятия состоянии. Решающее правило имеет вид:

max min u [ f(i), R (k) ]

f(i) R (k)

1.выбираем наименьший риск по значению убытка

2.выбираем вариант с наименьшими убытками

f=2 (!) убыток = - 121

По критерию Вальда выбирают стратегию, которая даёт гарантированный выигрыш при наихудшем варианте состояния среды.

КРИТЕРИЙ ЛАПЛАСА

Считаем будущее состояние равновероятным, тогда мощность спроса «K (k)» (k = 1,2, …6) равновероятна и равна 1/6. В этих условиях для соответствующих «f «прибыль составит

f=2 153 (суммируем данные строки таблицы и делим на 6)

f=3 197

f=4 210 (!) -Лаплас выбрал бы этот вариант

f=5 190

max ---- ∑ u {f(i),R(k)}

F(i) К 1

КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА

Введём коэффициент оптимизма @

Пусть в строке а - самое маленькое число,

А - самое большое число

Вычислим для каждой строки таблицы Н:

Н= @*A + (1-@)*a

и выбираем строку для которой Н=max

Положим @=0.1, либо 0.2, либо 0.5, … 0.8,либо 0.9

Для каждого @ вычисляем Н

@ =0.1 @=0.2 @=0.5 @=0.8 @=0.9

f =2 -84 ← -47! 62 171 206

f =3 -113 -59 105 270 325

f =4 -143 -59 149 370 442

f =5 -172 -81 193 467 650!←

законченный пессимист абсолютный оптимист

КРИТЕРИЙ СЭВИДЖА

Сожаление - величина равная изменению полезности результата при данном состоянии среды относительно наилучшего возможного решения.

Для каждого столбца «R» находим наиболее благоприятный случай (максимальный элемент) и его вычитаем из всех элементов этого столбца.

Строим матрицу сожалений и искомую стратегию f(i),

Max min

F(i), R(J)

Этот критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние среды наихудшим образом отличается от предполагаемого

R=0 R=20 R=40 R=60 R=80 R=100

P=2 0 0 0 -135 -270 -405

P=3 -48 -48 -48 0 -135 -270

P=4 -95 -95 -95 -47 0 -135

P=5 -143 -143 -143 -95 -48 0

Минимальные значения сожалений

P=2 -405

P=3 -270

P=4 -135 ←

P=% -143

Выбор критерия - высшая форма свободы у принимающего экономические решения

Критерий выбирается на самом высоком уровне управления

Критерий Вальда max min (P,R)

p r

Критерий Гурвица max [@ max (P,R)+(1-@)min(P,R)]

p r r

Критерий Лапласа

max 1/K sum (P,R)

r

Критерий Сэвиджа max min [(P,R) - max(P,R)]

s r

Динамическое программирование - направленный последовательный перебор вариантов, приводящий к глобальному максимуму.

Принцип Беллмана, процессы марковские:

Каковы бы ни были начальное состояние и начальная стратегия, последующие

решения должны быть оптимальны по отношению к состоянию предыдущего шага,

получившегося в результате предыдущего решения.

Оптимальное управление системой на каждом шаге не зависит от предыстории

процесса Такие системы называются Марковскими.

Задача

4 торговые зоны

Капиталовложения: складские помещения, магазины. торговый персонал,реклама.

Вложения Прибыль по торговым зонам

«А» млн руб 1 2 3 4

-----------------------------------------------------------------------------------------

0 0 0 0 0

1 0,28 0,25 0.15 0.20

2 0,45 0,41 0.25 0,33

3 0.65 0.55 0.40 0.42

4 0.78 0.65 0.50 0.48

5 0.90 0.75 0.62 0.53

6 1.02 0.80 0.73 0.56

7 1.13 0.85 0.82 0.58

8 1.23 0.88 0.90 0.60

9 1.32 0.90 0.96 0.60

10 1.38 0.90 1.00 0.60

Дата добавления: 2015-10-24