Теория выборки

Для каждого фотона, испытывающего взаимодействие в детекторе гамма-камеры, генерируется три аналоговых сигнала. Два сигнала представляют X -, Y - пространственные координаты точки взаимодействия фотона, и третий сигнал указывает, какая энергия была поглощена при взаимодействии. Теоретически зарегистрированное изображение есть непрерывная функция, являющаяся проекцией 3-мерного распределения р/н внутри пациента на двумерную плоскость передней поверхности гамма-камеры. Однако так как цифровой компьютер работает с дискретными числами, непрерывные функции, представляющие изображения, подвергаются выборке (англ. sampling) или делению на 64 × 64, 128 × 128, 256 × 256 матриц или дискретных пиксельных элементов. Эта операция выполняется с помощью конвертирования аналоговых X -, Y -позиционных сигналов в дискретные величины с помощью АЦК (см. главу 3).

Возникает вопрос: полноценно ли выборочная версия функции представляет ее непрерывную форму, и не происходит ли при таком преобразовании потеря информации? Ответ на этот вопрос дает теорема выборки. Для простоты анализа рассмотрим одномерную функцию f (x). В теореме выборки доказывается, что если преобразование Фурье функции f (x) является ограниченным в частотном домене, т.е. если F (u) равно нулю для всех частот выше чем определенная частота u_c, тогда непрерывная функция f (x) может быть однозначно определена из знания N выборочных значений:

(5.5)

где пространственный интервал выборки (или размер пикселя) равен

(5.6)

В уравнении (5.5) j относится к номеру выбранного значения, например, f (5) означает пятое выбранное значение. Функция δ(x) определена следующим образом:

(5.7)

Если условие (5.6) выполняется, то функция f (x) полностью восстанавливается из ее выборки, используя уравнение:

(5.8)

Уравнение (5.6) следует, что теорема выборки накладывает ограничение на максимальное расстояние между выборочными образцами (). Другими словами, выборочные интервалы должны быть, по крайней мере, составлять обратное величину для двух высших частот функции интереса. Обратная величина Δ x часто называется частотой выборки, а (1/(2·Δ x) частотой Найквиста.

Что случится, если функция выбирается с максимальным пространственным интервалом (размером пикселя) большим, чем 1/(2 u_c)? В этом случае первоначальная функция не будет полностью восстанавливаться из ее выборочных значений, и восстановленная функция будет содержать повышенные частоты под видом пониженных частот. Этот феномен получил название смещение (англ. aliasing).

Дата добавления: 2015-10-24