Абсолютно устойчивая схема

Для построения абсолютно устойчивой схемы будем использовать значения функции в точках шаблона, выделенных на рисунке 5.

Рисунок 5

Имеем разностную схему

,

которую далее будем называть «верхний треугольник».

Метод решения разностной задачи этой схемы также состоит в последовательном нахождении значений на слоях сетки с тем отличием, что для перехода на следующий слой требуется решить систему линейных уравнений вида

Решение этой системы будем искать в виде линейной комбинации векторов и , которые, в свою очередь, являются решениями систем

и

.

Легко видеть, что всякая такая линейная комбинация удовлетворяет всем уравнениям рассматриваемой системы, кроме первого. Подставляя в первое уравнение системы, получаем что если , то - искомое решение.

Системы линейных уравнений для и можно решать методом прогонки, причем прогоночные коэффициенты будут одинаковы для обеих систем.

Если , то, предложенный метод (метод циклической прогонки) устойчив, поскольку устойчивы оба метода обычной прогонки, применяющиеся для нахождения решения.

IV Аппроксимация

Пусть - точное решение рассматриваемой задачи. По формуле Тейлора имеем следующие равенства:

1. Схема «левый треугольник»

2. Схема «правый треугольник»

3. Схема «верхний треугольник»

Пусть -матрица системы линейных уравнений, соответствующей разностной схеме, - вектор, состоящий из значений в узлах сетки, . Имеем для схем «левый треугольник» и «правый треугольник»

,

а для схемы «верхний треугольник»

.

Таким образом, во всех рассматриваемых схемах аппроксимация имеет место.

V Устойчивость

Поскольку рассматриваемые разностные задачи линейны, то, очевидно, для того, чтобы соответствующая разностная схема была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы всякое ее решение было равномерно ограничено по m. Согласно спектральному признаку, устойчивость достаточно проверить для произвольной гармоники. Итак, схема устойчива, если всякое решение разностной задачи этой схемы равномерно ограничено по m.

Рассмотрим разностную схему «левый треугольник». Пусть - решение соответствующей разностной задачи. Тогда

,

откуда и +1. Далее, равномерно ограниченно по m для всех если и только если . Отсюда схема «левый треугольник» является абсолютно неустойчивой при и условно устойчивой при с условием устойчивости .

Аналогично схема «правый треугольник» абсолютно неустойчива при и условно устойчива при с условием устойчивости .

Теперь пусть - решение разностной задачи схемы «верхний треугольник». Тогда , откуда , т.е . Поскольку , то схема «верхний треугольник» абсолютно устойчива.

VI Набор начальных данных

Вернемся к исходной задаче

, , , , .

.

Для счета будем использовать следующие наборы начальных данных:

1.

2.

3.

4.

5.

VII Результаты счета

Дата добавления: 2015-10-02