Механические колебания. Гармонический осциллятор. Пружинный, математический и физический маятник.

Механические колебания см. 22.

Одна из важных задач о движении микрочастиц – это задача о движении гармонического осциллятора - системе, способной совершать гармонические колебания. История квантовой теории реально начинается с Макса Планка, который в 1900 г. Получил формулу для правильного описания спектрального распределения теплового излучения. Планк пришел к выводу, что не может обеспечить вывод своей магической формулы для распределения излучения, если только не сделать предположения, которое с философской точки зрения он считал почти неприемлемым. Это предположение заключалось в том, что рассматриваемые им в качестве излучателей гармонические осцилляторы должны обладать энергиями, не распределенными как непрерывные переменные (чего следовало бы ожидать), а принимающими дискретные и регулярным образом расположенные значения. Осцилляторы с частотой υ должны были обладать значениями энергии, которые были бы кратны, т.е. N раз умножены (гдеn = 0,1, 2,3,...) На нечто, названное им квантом энергии hυ.

Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?

· Колебания маятника с малой амплитудой.

· Другой пример – вертикальные колебания грузика, подвешенного на пружине.

В мире микрочастиц примерами могут быть колебания двухатомной молекулы или колебания атомов в кристаллах. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Частица не может покинуть параболическую потенциальную яму, края которой уходят на бесконечность.

Из классической механики известно, что проекция движения частицы на ось x представляет собой синусоидальное колебание около положения равновесия x = 0 с частотой:

Точки a₀ и -a₀, в которых полная энергия частицы E равна потенциальной энергии, являются для частицы точками поворота. Плотность вероятности обнаружения колеблющейся частицы в различных точках оси x описывается формулой

Минимальна вероятность найти частицу около положения равновесия, где она движется с максимальной скоростью. Вблизи точек поворота частица как бы "зависает", и там вероятность обнаружения максимальна.

Оценка минимальной энергии осциллятора

Посмотрим, к каким выводам о характере движения приводит квантовая механика. Начнем с простой оценки минимального значения энергии осциллятора E. Полная энергия осциллятора E складывается из кинетической и потенциальной энергий:

Используя соотношение неопределенности Гейзенберга, в качестве оценки значения импульса p возьмем p ~ ћ/x.

Для малых значений x кинетическая энергия превышает потенциальную, тогда как при больших значениях x имеет место обратное соотношение между ними. Для основного состояния, где энергия минимальна, найдем минимум функции (2). Значение переменной x_min, соответствующее минимуму, равно:

А соответствующее значение энергии E имеет порядок

Заметим, что оценка энергии основного состояния дает ненулевое(!) Значение. Уже простые вычисления приводят к нетривиальному результату.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

, где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

Математический маятник

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g приближенно равен

И мало зависит от амплитуды и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

Где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где l ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. Н. Гармоническое уравнение) имеет вид:

.

Физический маятник

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Определения

— угол отклонения маятника от равновесия;

— начальный угол отклонения маятника;

— масса маятника;

— расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;

— радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

— ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

.

Полагая , предыдущее уравнение можно переписать в виде:

.

Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной . Величина называется приведённой длиной физического маятника.

Период малых колебаний физического маятника

.

Период малых колебаний физического маятника

Если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

.

Дата добавления: 2015-10-02