Сопротивление материалов (СМ)

Литература:

1. Писаренко Г.С. та ін. Опір матеріалів. –К.: Вища школа, 1993.

2. Піскунов В.Г. та ін. Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності. –К.: Вища школа, 1993.

3. Смирнов А. Ф. и др. Сопротивление материалов. -М.: Высшая школа, 1975.

4. Писаренко Г.С. и др. Справочник по сопротивлению материалов. –К.: Наукова думка, 1988.

6. Сборник задач по сопротивлению материалов (под редакцией А. С. Вольмира). -М., Наука, 1986.

7. Методичні вказівки до лекційного курсу „Опір матеріалів”. Дн-вськ: ПДАБА, 2006.

8. Методичні вказівки до розрахунково-проектувальних робіт з опору матеріалів (з урахуванням кредитно-модульної системи). Дн-вськ: ПДАБА, 2006.

9. Методичні вказівки до лабораторних робіт з опору матеріалів. Дн-вськ: ПДАБА, 2006.

ВВЕДЕНИЕ

Конструкции и их элементы должны удовлетворять целому ряду требований, из которых наиболее общими и важными являются требования:

- прочности;

- жесткости;

- устойчивости;

- экономичности.

Прочность – способность конструкции и ее элементов выдерживать заданную нагрузку не разрушаясь.

Жесткость – способность конструкции и ее элементов выдерживать заданную нагрузку без существенного изменения формы и ее размеров.

Устойчивость – способность конструкции и ее элементов выдерживать заданную нагрузку, сохраняя заданную форму равновесия.

Экономичность – конструкция из заданного материала должна быть минимального веса.

Требования 1-3 противоречат четвертому требованию. Это противоречие обусловило возникновение в рамках механики комплекса наук о прочности, который включает в себя:

1. Механику деформируемого твердого тела (теория упругости, теория пластичности, теория колебаний, теория устойчивости, теория пластин, теория оболочек и т.д.).

2. Строительную механику (строительная механика стержней, строительная механика пластин и оболочек, строительная механика сооружений, строительная механика корабля, строительная механика самолета, строительная механика ракет и т.д. статика, динамика сооружений и т.д.).

3. Дисциплины, которые включают в свое название понятия: «прочность», «конструкция», «проектирование», а также названия объектов расчета (прочность корабля, ракеты, самолета и т.д., металлические, деревянные, каменные, бетонные, железобетонные, пластмассовые конструкции и т.д., оптимальное проектирование, проектирование высотных сооружений и т.д., основания и фундаменты и.т.д.).

«Азбукой» всех этих наук является «сопротивление материалов» («Сопротивление материалов» - азбука великого общества наук о прочности – В.И.Феодосьев).

Сопротивление материалов (СМ) – экспериментально-теоретическая дисциплина об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость простейших элементов конструкций сооружений и машин с учетом требований экономичности.

В экспериментальной части СМ базируется на результатах физики и материаловедения, в теоретической – на результатах теоретической механики и математики.

Объект изучения СМ

При всем разнообразии конструктивных элементов, с точки зрения СМ, их можно привести к 5-и формам:

- брус;

- пластина;

- оболочка;

- массив;

- тонкостенный стержень.

Объектом изучения СМ является простейшая форма – брус.

Брус – тело (элемент конструкции), у которого один из характерных размеров (длина) существенно превышает два других (размеры поперечного сечения).

Линия, проходящая через центры тяжести (площади) плоских сечений бруса с минимальной площадью называется осью бруса.

Брусья бывают с прямолинейной осью (стержни, колонны) и с криволинейной осью (брусья), постоянного и переменного по длине сечения, форма которого может быть произвольной

В дальнейшем будем рассматривать в основном стержни с неизменным (постоянным) по длине сечением.

Силы в СМ

В СМ различают: внешние силы (нагрузки) и внутренние силы, которые чаще называют внутренними усилиями.

Классификация нагрузок

1. По типу различают: поверхностные и объемные нагрузки.

Поверхностные нагрузки приложены к поверхности тела и могут быть сосредоточенными (например, давление колеса на рельс) и распределенными (например, давление снега на кровлю).

Объемные нагрузки приложены в каждой точке тела (например, вес конструкции, силы инерции либо силы магнитного притяжения).

2. По характеру действия различают: статические и динамические нагрузки.

Статические нагрузки прикладываются к конструкции настолько медленно, что ускорениями точек конструкции при их перемещении из-за нагружения, а, следовательно, и инерционными силами можно пренебречь (например, нагружение снеговой нагрузкой, нагружение собственным весом при строительстве сооружения из кирпича).

Динамические нагрузки – существенно изменяются во времени, и возникающие при этом инерционные силы необходимо учитывать в расчетах (например, ветровая нагрузка).

3. По продолжительности действия различают: постоянную и временную нагрузки.

Постоянная нагрузка действует в течение всего срока службы сооружения (например, собственный вес конструкции).

Временная нагрузка характеризуется ограниченным сроком действия (например, нагрузка от ветра, от снега).

Известные (заданные) нагрузки называются активными.

Неизвестные силы, возникающие в местах связей, удерживающих тело в равновесии, называются реактивными силами или реакциями.

Реакции относятся к категории внешних сил.

Сосредоточенные нагрузки измеряют в единицах силы (как правило, Н, кН) и обозначают буквами F (активные) и R (реактивные).

Распределенные нагрузки, задают их интенсивностью q, которую измеряют в единицах силы, отнесенной к единице длины или единице площади (как правило, Н/м; Н/м² = Па).

Деформации и внутренние силы

При нагружении тело деформируется, что проявляется в виде изменения его формы и размеров. Для большинства реальных тел эти изменения визуально не проявляются.

Под деформацией, в широком смысле слова, будем понимать изменение взаимного расположения частиц тела, приводящее к изменению его формы и размеров, обусловленное действием внешних сил. Деформация сопровождается возникновением в теле внутренних усилий.

Под внутренними силами будем понимать усилия взаимодействия между частицами тела, обусловленные действием нагрузок. Если внешняя нагрузка отсутствует, а также отсутствует изменение температуры, внутренние усилия также отсутствуют.

Внутренние усилия определяются при помощи метода сечений.

Метод сечений

Метод сечений предполагает выполнение следующих операций:

1) тело, на участке, где необходимо определить внутренние силы, мысленно рассекается на две части, одна из которых отбрасывается;

2) действие, отброшенной части на часть, оставшуюся в рассмотрении, заменяем искомыми внутренними силами, приложенными в сечении;

3) для рассматриваемой части составляются уравнения равновесия, из которых определяются значения внутренних сил.

Внутренние усилия распределены по сечению в общем случае неравномерно. Методически целесообразно привести внутренние силы к какой-либо точке сечения (как правило, к центру тяжести сечения).

Метод сечений в применении к брусу. Внутренние усилия в брусе

Рассмотрим брус, который находится в состоянии равновесия под действием произвольной пространственной нагрузки. С целью определения внутренних усилий используем метод сечений. Поперечное сечение бруса выполняем перпендикулярно к его оси.

Приведем внутренние силы, распределенные по сечению, к центру тяжести сечения, с которым свяжем ортогональную систему координат (ось х – вдоль оси бруса; ось y – в вертикальной плоскости, вниз; ось z – в горизонтальной плоскости, см. рис.). В результате приведения получим главный вектор и главный момент . Спроектируем равнодействующие внутренних сил и на оси координат. Получим 6 составляющих (компонентов) внутренних усилий, которые будем называть внутренними силовыми факторами или просто внутренними усилиями (силами):

N – нормальная (продольная) сила;

Q_y и Q _z – поперечные (перерезывающие) силы;

M _x = М_кр – крутящий момент;

M _y и M _z – изгибающие моменты.

Внутренние силовые факторы определяются из уравнений равновесия:

1) в случае пространственной системы для определения 6 неизвестных внутренних усилий имеем 6 уравнений равновесия:

; ; ;

; ; .

2) для плоской системы (в вертикальной плоскости) имеем три неизвестных: N, Q_y, M _z и три уравнения равновесия для их определения:

; ; .

В зависимости от числа силовых факторов, возникающих в сечении, различают простую (возникает одно усилие) и сложную (возникает более одного усилия) деформацию или нагружение.

Типы простых деформаций (нагружений)

1. Осевое растяжение (сжатие) стержней.

В сечении стержня возникает только нормальная сила N.

Стержень только удлиняется (укорачивается).

2. Сдвиг (срез или перерезывание) стержней.

В сечении стержня возникает только перерезывающая сила Q _y либо Q _z..

Заклепка срезается.

3. Кручение стержней.

В сечении стержня возникает только крутящий момент М_кр.

Стержень только закручивается.

4. Плоский чистый изгиб стержней.

В сечении стержня возникает только изгибающий момент М _у, либо М _z.

Стержень только изгибается.

Напряжения

Напряжение – мера интенсивности внутренних усилий в точке.

Выделим в окрестности исследуемой точки малую площадку конечных размеров, площадь которой – и определим равнодействующую внутренних сил, распределенных по этой площадке – (в силу малости площадки моментом D пренебрегаем). Среднее напряжение – р_ср на площадке будет определяться по формуле

.

Очевидно, что среднее напряжение р_ср, существенно зависит от величины , поэтому не может являться мерой интенсивности внутренних усилий в точке. Уменьшая площадку до бесконечно малой (элементарной) и переходя в рассматриваемом соотношении к пределу, получим полное напряжение в точке – р

.

Вектор полного напряжения в общем случае произвольно ориентирован к плоскости сечения. Раскладывая его на нормаль к сечению и в плоскости сечения, получим два типа напряжений (см. рис.):

нормальное напряжение ,

касательное напряжение .

Измеряются напряжения в единицах «сила/площадь» (Н/м ² = Па; МПа = Па ×10⁶).

Свойства реальных тел

1. Упругость – способность тела полностью восстанавливать свою форму и размеры после приложения и снятия нагрузки. Деформации, которые претерпевает при этом тело, называются упругими.

2. Пластичность – способность тела принимать новую форму и размеры после приложения и снятия нагрузки. Деформации, которые претерпевает при этом тело, называются пластическими или остаточными.

Основные гипотезы СМ

I. Гипотезы о свойствах материала

1. Гипотеза сплошности – реальный материал с дискретной структурой заменяем сплошной средой с осредненными физико-механическими характеристиками (дискретную атомистическую природу вещества во внимание не принимаем).

2. Гипотеза однородности и изотропности – физико-механические свойства материала в каждой точке (однородность) и во всех направлениях (изотропность) одинаковы.

3. Гипотеза идеальной упругости – материал, до определенных пределов нагружения, является абсолютно упругим.

4. Гипотеза о линейной зависимости между напряжениями и деформациями в точке – между напряжениями и деформациями в точке, до определенных пределов нагружения, справедлива линейная зависимость. Эта гипотеза обусловливает физическую линейность задач СМ и отражает важнейший в СМ физический закон – закон Гука.

II. Гипотезы о характере деформаций

5. Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии тела – при отсутствии нагрузки (внешних сил) напряжения в теле отсутствуют.

6. Гипотеза о малости деформации – перемещения при нагружении малы по сравнению с характерными минимальными размерами тела. Эта гипотеза обусловливает геометрическую линейность задач СМ.

7. Гипотеза плоских сечений Якоба Бернулли – сечения плоские и перпендикулярные к оси бруса до нагружения остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса после нагружения.

Расчетные принципы СМ

I. Принцип независимости действия сил – эффект от действия системы внешних сил (температуры) равен сумме эффектов от действия каждого из силовых факторов в отдельности.

Этот принцип базируется на гипотезе о линейной зависимости между напряжениями и деформациями в точке и гипотезе о малости деформаций.

V_c = V_c (F ₁)+ V_c (F ₂)

II. Принцип начальных размеров (замороженности) – при рассмотрении равновесия нагруженного тела изменения его размеров и конфигурации во внимание не принимаются (уравнения равновесия формируются для недеформированного тела).

Этот принцип базируется на гипотезе о малости деформаций.

Мк =F×l – для недеформированного состояния (согласно принципу замороженности) Мк =F×l¢ – для деформированной схемы

III. Принцип Сен-Венана – напряженно-деформируемое состояние (НДС) в точках, удаленных от мест приложения нагрузки, не зависит от особенностей ее приложения, а определяется равнодействующей нагрузки.

Следствие: При решении практических задач систему действующих внешних сил можно заменять эквивалентной ей системой, с точки зрения принцип Сен-Венана.

Напряжения и деформации в зоне приложения нагрузки называются местными (эти напряжения, в принципе, могут быть определены методами теории упругости).

ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) СТЕРЖНЕЙ

Если в сечении стержня возникает только нормальная сила – N, имеет место осевое (центральное) растяжение либо сжатие.

Внешние силы в этом случае должны действовать вдоль оси либо приводиться к равнодействующей, направленной вдоль оси.

Усилия и напряжения

Рассмотрим призматический стержень, который растягивается силой F, приложенной вдоль оси к нижнему торцу стержня.

А – площадь поперечного сечения стержня (м ^2). У призматического стержня площадь сечения по длине не изменяется (A =const)

Используя метод сечения, определим нормальное усилие в произвольном сечении стержня – N. Собственный вес стержня не учитываем. Начало координат помещаем на свободном краю стержня.

, откуда . (1) Заметим, что усилие N является равнодействующей элементарных усилий (dN), распределенных по сечению. Величина этих элементарных усилий может быть определена по формуле dN=s dA, (2) где s - нормальное напряжение, dA – площадь элементарной площадки сечения.

Суммируя элементарные усилия (интегрируя) по всей площади поперечного сечения, получим

либо, с учетом (2) . (3)

Из формулы (3) определить нормальное напряжение s невозможно, поскольку неизвестен закон распределения s по сечению (говорят в этой связи, что задача определения s в брусе является внутренне статически неопределимой). Для решения задачи необходимо использовать дополнительные соображения, в частности, допущения и гипотезы, касающиеся характера деформации стержня:

1) гипотезу плоских сечений (Я.Бернулли);

1) допущение о ненадавливании продольных волокон друг на друга.

Согласно гипотезе Я.Бернулли, плоское сечения ав (см.рис.) переместится параллельно в положение а^/в^/, при этом, очевидно, что деформации всех продольных волокон будут одинаковы. Поскольку, согласно допущению 2, эти волокна не взаимодействуют друг с другом, в соответствии с законом Гука, напряжения в них будут одинаковы, т.е. s будут равномерно распределены по сечению (s = const). Это позволяет вынести величину s в формуле (3) за знак интеграла

. (4)

Учитывая, что , получаем из (4) формулу для напряжений при осевом растяжении-сжатии

. (5)

Правило знаков для N и s: при осевом растяжении N и s положительны; при сжатии – отрицательны.

Рекомендации: на расчетной схеме метода сечений целесообразно задавать положительные направления N и s, обусловливающие растяжение рассматриваемого элемента (в направлении внешней нормали к сечению). Тогда из уравнений равновесия знак N и s будет получаться автоматически.

Отметим, что, поскольку при осевом растяжении-сжатии отсутствуют поперечные составляющие внешней нагрузки, в поперечном сечении стержня касательные напряжения – t также отсутствуют, т.е.

.

Перемещения и деформации стержня

При нагружении осевой растягивающей силой F стержень удлиняется на величину D l, а размеры его сечения уменьшаются на величину D в.

l ^/ - l = D l – абсолютное удлинение (укорочение) стержня.

– относительное удлинение (укорочение) или линейная продольная деформация;

D в=в^/ - в – абсолютное изменение размера сечения;

- относительное изменение поперечного размера или поперечная деформация.

Очевидно, что деформации e и e ^/ являются безразмерными величинами.

Из опыта известна связь между e и e ^/

(6)

либо в другой форме (7)

Здесь: n – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Величина n является безразмерной и для каждого материала постоянна. Для изотропных материалов n изменяется в пределах . Ниже приведены значения n для некоторых материалов:

сталь различных марок – n = 0,25 – 0,33 (обычно принимают n = 0,3);

каучук натуральный – n = 0,47 (близок к несжимаемому материалу – n = 0,5);

пробковое дерево – n» 0.

Заметим, что знак «-» в формулах (6, 7) обусловлен различными знаками продольной и поперечной деформаций при положительном значении коэффициента Пуассона n (при растяжении величина e положительна, а e ^/ - отрицательна, при сжатии наоборот)

Закон Гука

Закон Гука формулируется следующим образом: до определенных пределов нагружения напряжения в точке тела прямопропорциональны деформации. Аналитическая формулировка имеет вид

. (8)

Коэффициентом пропорциональности в законе Гука является модуль нормальной упругости (другие названия: модуль Юнга, модуль упругости I-го рода) – Е, который характеризует способность материала сопротивляться внешним силам (характеризует жесткость материала).

Измеряется величина Е в тех же единицах, что и напряжения: Па, МПа. Значения Е для каждого материала постоянны. Для всех марок сталей величина Е примерно одинакова и составляет Е =2·10⁵ МПа. Для других материалов:

Материал	воль-фрам	серый чугун	Алю-миний	титан	сосна	бетон	кладка кирпич	лед	каучук
Е ´10^-5 МПа	4,2	0,80-1,5	0,70-0,72	1,10-1,20	0,102-0,145	0,146-0,232	0,027-0,030	0,1	0,6-1 ´10^-4

Используя формулу закона Гука (8), можно определить удлинение (укорочение) призматического стержня, у которого величина нормального усилия по длине не изменяется (N= const). Так, подставляя в (8), выражение для напряжения (5)

и выражение для деформации

,

получим формулу для удлинения (укорочения) призматического стержня

. (9)

Заметим, что произведение Е А, стоящее в знаменателе формулы, называется жесткостью сечения стержня при растяжении-сжатии.

МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ

Механические характеристики материалов при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость определяются из опытов, чаще всего, при растяжении-сжатии специальных образцов:

	Цилиндрический образец для растяжения
	Плоский образец для растяжения
	Образцы для сжатия h=d; 3d;

Классификация конструкционных материалов

Различают: - пластичные материалы;

- хрупко-пластичные материалы;

- хрупкие материалы.

Пластичные материалы - характеризуются существенными деформациями, предшествующими разрушению (чистые металлы: Cu, Al, Fe, конструкционные стали).

Хрупкие материалы - характеризуются малыми деформациями, предшествующими разрушению (стекло, чугун, бетон, кирпич, керамика).

Хрупко-пластичные материалы – занимают промежуточное место между пластичными и хрупкими (углеродистые инструментальные стали, ряд металлических сплавов, пластмасс и керамики.

А. Пластичные материалы

Рассмотрим механические свойства пластичных материалов на примере широко распространенной конструкционной стали Ст3

Испытания на растяжение

Испытания на растяжение проводятся в специальных либо универсальных испытательных машинах. При этом получают связь между нагрузкой (F)иудлинением(Dl) образца в диапазоне нагрузок от 0 до разрушения.

Диаграмма «F -Dl» называется диаграммой растяжения. Она включает в себя следующиеучастки:

1. Линейный участок.

2. Участок текучести (площадка текучести).

3. Участок упрочнения (наклепа, нагартовки).

4. Участок разрыва.

- предельная нагрузка, выдерживаемая образцом; - нагрузка разрыва.

В пределах линейного участка деформации образца визуально не отмечаются. При достижении участка текучести поверхность образца покрывается линиями Чернова-Людерса (образец мутнеет и заметно удлиняется). При достижении на образце возникает шейка (локальное сужение образца). На участке разрыва шейка интенсивно развивается, и при образец в области шейки разрывается.

Площадь, ограниченная диаграммой «F -Dl» и осью ОDl, определяет работу, затраченную на разрыв образца.

Диаграмма растяжения не может быть использована непосредственно для определения механических характеристик материала, поскольку они будут зависеть от размеров образца. Для определения характеристик материала ее перестраивают в диаграмму «», которую называют диаграммой напряжений, либо, более строго, диаграммой условных напряжений.

Здесь:

; ;

- исходная площадь образца; - исходная длина образца.

Диаграмма напряжений

Выделяют три группы механических характеристик материала: характеристики прочности, пластичности, упругости.

1.Характеристики прочности:

- - предел пропорциональности – наибольшее значение напряжений, при которых остается справедливым для материала закон Гука;

- - предел упругости, – наибольшее значение напряжений, при которых материал остается упругим;

- - предел текучести – напряжения, при которых деформации развиваются без изменения нагрузки;

- - предел прочности (предел временного сопротивления) – наибольшее значение условных напряжений в образце.

Очевидно, что в процессе нагружения площадь сечения образца уменьшается (поэтому рассматриваемую диаграмму называют диаграммой условных напряжений).

Если при построении диаграммы напряжение определять по формуле

,

где А – текущая площадь образца (с учетом его сужения), получим диаграмму истинных напряжений (изображена штриховой линией).

2.Деформации и характеристики пластичности:

Полная деформация образца при напряжении определяется по формуле

, где

- пластическая (остаточная) деформация;

- упругая деформация.

Основной характеристикой пластичности является остаточная деформация образца после разрыва – d.

Вторая характеристика – относительное сужение образца в месте разрыва – y

. Здесь: А_ш – площадь шейки в месте разрыва.

Величину - используют для классификации материала: если велико – материал пластичный, мало – материал хрупкий. Например, сталь Ст3 имеет =0,22 и относится к пластичным материалам; чугун – =0,005 относится к хрупким материалам.

Дата добавления: 2015-10-02