Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Алгебра и геометрия

Читайте также:
  1. АЛГЕБРА и линейная алгебра
  2. Аналитическая геометрия
  3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
  4. Геометрия комплексов
  5. Геометрия посадок в муссонных регионах
  6. Глава 3. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета

__________ О.Н. Федонин

«___»____________ 2013 г.

 

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

 

Методические указания к расчетно-графической работе

для студентов очной формы обучения направлений подготовки

090900 – «Информационная безопасность»
и 090303 – «Информационная безопасность автоматизированных систем»

 

Брянск 2013


УДК 511

 

Алгебра и геометрия [Текст]+[Электронный ресурс]: методические указания к расчетно-графической работе для студентов очной формы обучения направлений подготовки 090900 – «Информационная безопасность» и 090303 – «Информационная безопасность автоматизированных систем». – Брянск: БГТУ, 2013. – 19 с.

 

 

Разработал: А.И. Горелёнков, канд. техн. наук, доц.

 

 

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол №10 от 11.06.13)

 


ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Данные методические указания предназначены для оказания помощи студентам при выполнении расчетно-графической работы (РГР).

Каждой задаче РГР отведен отдельный параграф. Он начинается с общей постановки задачи. Затем следует план решения. Параграф завершают задачи, предназначенные для самостоятельного решения.

Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале группы. Решение задач должно быть представлено к определенному сроку.

 

1. Матрицы и определители

 

Постановка задачи

Заданы квадратная матрица А и матрица-строка В. Найти матрицу С = ВАВ т, алгебраические дополнения элементов матрицы А, обратную матрицy А –1 элементарными преобразованиями. Решить матричные уравнения AX = В т, YA = В и найти ранг матриц XY и YX.

План решения

Используя операцию умножения матриц, вычисляем матрицу С = ВАВ т.

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Вычисляем определитель матрицы А. Убеждаемся, что он не равен нулю. Следовательно, матрица А имеет обратную матрицу. К матрице А приписываем справа единичную матрицу Е. Элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы (A ¦ E) матрицу А приводим к виду единичной матрицы Е. После преобразований на месте приписанной справа единичной матрицы Е находится обратная матрица А –1. Выписываем ее.

Умножая слева обе части матричного равенства АХ = В т на А –1, получаем решение уравнения – матрицу Х = А –1 В т. Умножая справа обе части матричного равенства YA = В на А –1, получаем решение уравнения – матрицу Y = –1.

Вычисляем матрицы XY и YX и находим их ранг.

Условие задачи

Даны квадратная матрица А (табл. 1) и матрица-строка . Найти матрицу С = ВАВ т, алгебраические дополнения элементов матрицы А, обратную матрицy А –1 элементарными преобразованиями. Решить матричные уравнения AX = В т, YA = В и найти ранг матриц XY и YX.

Таблица 1

Матрица А Матрица А Матрица А
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

2. Невырожденные системы линейных алгебраических уравнений

 

Постановка задачи

Решить невырожденную систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными матричным методом, по правилу Крамера и методом Гаусса.

План решения

Записываем матрицу системы A и вычисляем ее определитель det A. Убеждаемся, что он не равен нулю. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Находим обратную матрицу . Умножая слева обе части матричного равенства АХ = В на А –1, получаем решение системы – матрицу-столбец Х = А –1 В.

Вычисляем определители Δ1 , Δ2 , Δ3 , полученные из определителя Δ = det A заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов – столбцом свободных членов. По формулам Крамера: , i = 1, 2, 3 находим решение системы уравнений.

Расширенную матрицу системы уравнений элементарными преобразованиями приводим к ступенчатому виду. По ступенчатой матрице восстанавливаем систему уравнений и решаем ее снизу вверх.

Условие задачи

Решить невырожденную систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными (табл. 2) матричным методом, по правилу Крамера и методом Гаусса.

Таблица 2

Система уравнений Система уравнений Система уравнений
     
     
     

Окончание табл. 2

Система уравнений Система уравнений Система уравнений
     
     
     
     
     
     
     

 

3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

 

Постановка задачи

Найти нормальную фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений и записать общее решение системы.

План решения

Записываем основную матрицу системы и элементарными преобразованиями преобразуем ее к ступенчатому виду. По ступенчатой матрице восстанавливаем систему уравнений. Получаем трапецеидальную систему r уравнений с n неизвестными. Определяем, какие неизвестные в системе будут основными, какие свободными. Основные неизвестные оставляем слева, свободные переносим в правые части уравнений.

Для нахождения нормальной фундаментальной системы решений l 1 , l 2 , …, lk последовательно каждой свободной неизвестной присваиваем единичное значение, а остальным свободным неизвестным нулевое значение. Решая полученные системы уравнений, находим l 1 , l 2 , …, lk.

Записываем общее решение однородной системы: , где c 1 , c 2 , …, ck – произвольные постоянные.

Условие задачи

Найти нормальную фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (табл. 3) и записать общее решение системы.

Таблица 3

Система уравнений Система уравнений
   
   
   
   
   
   

Окончание табл. 3

Система уравнений Система уравнений
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

4. Операции над векторами в произвольном базисе

 

Постановка задачи

В произвольном базисе заданы векторы и . Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , острый угол между диагоналями параллелограмма, площадь параллелограмма.

План решения

Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , равны модулям векторов и . Используя свойства и определение скалярного произведения, вычисляем и .

Угол между диагоналями параллелограмма равен углу между векторами и . Острый угол φ между векторами и находим из равенства .

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю их векторного произведения. Используя свойства и определение векторного произведения, вычисляем .

Условие задачи

Даны векторы и . Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , острый угол между диагоналями параллелограмма, площадь параллелограмма.

Значения коэффициентов l, m, n, k, модули векторов , и угол между ними приведены в табл. 4.

Таблица 4

l m n k
              30°
              30°
              45°
              30°
              60°
              60°
              30°
              60°
              60°
              30°
              60°

Окончание табл. 4

l m n k
              45°
              30°
              60°
              30°
              30°
              60°
              45°
              30°
              60°
              45°
              45°
              45°
              45°
              45°
              60°
              45°
              30°
              60°
              45°

 

5. Операции над векторами в ортонормированном базисе

 

Постановка задачи

Заданы координаты точек A 1 , A 2 , A 3 , A 4 . Вычислить координаты векторов , , , острый угол между векторами и , площадь треугольника A 1 A 2 A 3, объем пирамиды A 1 A 2 A 3 A 4.

План решения

Координаты вектора находим как разности соответствующих координат их конца и начала.

По формулам для скалярного произведения двух векторов и длины вектора в ортонормированном базисе вычисляем , , . Острый угол φ между векторами и находим из равенства .

Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна одной второй модуля их векторного произведения. По формуле для векторного произведения двух векторов в ортонормированном базисе вычисляем координаты вектора и его модуль. Находим площадь треугольника.

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах , и , равен одной шестой модуля их смешанного произведения. По формуле для смешанного произведения трех векторов в ортонормированном базисе вычисляем и находим объем пирамиды.

Условие задачи

Даны координаты точек A 1 , A 2 , A 3 , A 4 (табл. 5). Вычислить координаты векторов , , , острый угол между векторами и , площадь треугольника A 1 A 2 A 3, объем пирамиды A 1 A 2 A 3 A 4.

Таблица 5

A 1 A 2 A 3 A 4
  (2; 3; 2) (10; 7; 3) (6; 6; 3) (8; 9; 5)
  (3; 5; 2) (1; 7; 5) (5; 6; 8) (1; 6; 4)
  (6; 1; 4) (3; –3; 8) (5; –5; 8) (8; 3; 3)
  (2; 5; 4) (5; 3; 6) (8; 3; 5) (8; 2; 10)
  (3; 4; 3) (7; –4; 4) (6; 0; 4) (9; 10; 6)
  (1; 2; 3) (3; 4; 6) (–3; 1; 6) (3; 3; 5)
  (3; 5; 1) (0; 1; 5) (1; 0; 5) (7; 9; –1)
  (5; –2; 4) (7; 1; 6) (7; 4; 5) (8; 4; 10)
  (1; 2; 1) (9; –2; 2) (–3; 5; 0) (7; 8; –2)
  (4; 1; 3) (2; 3; 6) (5; –3; 6) (3; 3; 5)
  (3; –1; 2) (7; 2; 6) (9; 0; 6) (5; 1; 3)
  (3; 5; 4) (1; 8; 6) (–1; 2; 6) (9; –1; 1)
  (1; 1; 2) (–3; 9; 3) (–2; 5; 3) (7; 7; –1)
  (1; 4; 3) (–1; 6; 6) (6; –4; 0) (2; 2; 1)
  (2; 4; 1) (6; 7; 5) (7; 6; 5) (6; 8; 3)
  (1; 2; 2) (3; 5; 4) (5; –1; 4) (7; 8; 5)
  (2; –2; 1) (10; 2; 2) (6; 1; 2) (8; 4; 4)
  (3; 4; –1) (1; 6; 2) (5; 5; 5) (1; 5; 1)

Окончание табл. 5

A 1 A 2 A 3 A 4
  (2; 5; 3) (–1; 1; 7) (1; –1; 7) (4; 7; 2)
  (1; 4; 2) (4; 2; 4) (7; 2; 3) (7; 1; 8)
  (3; 1; 4) (7; –7; 5) (6; –3; 5) (9; 7; 7)
  (2; 4; 3) (4; 6; 6) (–2; 3; 6) (4; 5; 5)
  (5; –2; –1) (2; –6; 3) (3; –7; 3) (9; 2; –3)
  (5; 2; 1) (7; 5; 3) (7; 8; 2) (8; 8; 7)
  (2; –1; 7) (10; –5; 8) (–2; 2; 6) (8; 5; 4)
  (4; 7; 8) (2; 9; 11) (5; 3; 11) (3; 9; 10)
  (2; 1; 3) (6; 4; 7) (8; 2; 7) (4; 3; 4)
  (1; 5; 2) (–1; 8; 4) (–3; 2; 4) (7; –1; –1)
  (6; 1; 4) (2; 9; 5) (3; 5; 5) (12; 7; 1)
  (6; 5; 1) (4; 7; 4) (11; –3; –2) (7; 3; –1)

 

6. Собственные значения и собственные векторы
линейного оператора

 

Постановка задачи

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора Α, заданного в некотором базисе матрицей А.

План решения

Составляем характеристическое уравнение и находим все его действительные корни . Числа являются собственными значениями линейного оператора А.

Для каждого собственного значения записываем однородную систему уравнений и находим ее фундаментальную систему решений. Решения фундаментальной системы являются собственными векторами линейного оператора А.

Условие задачи

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора Α, заданного в некотором базисе матрицей А (табл. 6).

Таблица 6

Матрица А Матрица А Матрица А
     

Окончание табл. 6

Матрица А Матрица А Матрица А
     
     
     
     
     
     
     
     
     

 

7. Прямая линия на плоскости

 

Постановка задачи

Заданы координаты точек A, B, C. Написать каноническое и общее уравнения прямой AB, найти её угловой коэффициент. Написать каноническое и общее уравнения прямой , найти её угловой коэффициент. Вычислить угол между прямыми AB и (в градусах). Написать общее уравнение высоты CD и найти её длину, не используя координаты точки D. Написать общее уравнение медианы CE. Найти координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

План решения

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М 1(x 1; y 1), М 2(x 2; y 2), имеет вид . Подставляя в это равенство координаты точек A и B (A и С), получаем искомое уравнение прямой AB (прямой АС). Преобразовываем каноническое уравнение в общее уравнение и в уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угол между прямыми находим из равенства , где k 1, k 2 – угловые коэффициенты прямых AB и .

Для составления уравнения высоты воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Длину высоты CD находим по формуле расстояния от точки С до прямой АВ.

Вычисляем координаты середины отрезка АВ – точки Е. Составляем каноническое уравнение прямой, проходящей через точки С и Е. Преобразовываем каноническое уравнение в общее уравнение.

Составляем уравнение высоты BF. Координаты точки пересечения высот треугольника ABC находим, решая систему двух уравнений – уравнений высот CD и BF.

Условие задачи

Даны координаты точек A, B, C (табл. 7). Написать каноническое и общее уравнения прямой AB, найти её угловой коэффициент. Написать каноническое и общее уравнения прямой , найти её угловой коэффициент. Вычислить угол между прямыми AB и (в градусах). Написать общее уравнение высоты CD и найти её длину, не используя координаты точки D. Написать общее уравнение медианы CE. Найти координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

Таблица 7

A B C A B C
  (7; 4) (1; 1) (4; 5)   (–5; 4) (1; 1) (–2; 5)
  (–5; –2) (1; 1) (–2; –3)   (7; –2) (1; 1) (4; –3)
  (5; 4) (–1; 1) (2; 5)   (–7; 4) (–1; 1) (–4; 5)

Окончание табл. 7

A B C A B C
  (–7; –2) (–1; 1) (–4; –3)   (5; –2) (–1; 1) (2; –3)
  (7; 2) (1; –1) (4; 3)   (–5; 2) (1; –1) (–2; 3)
  (–5; –4) (1; –1) (–2; –5)   (7; –4) (1; –1) (4; –5)
  (5; 2) (–1; –1) (2; 3)   (–7; 2) (–1; –1) (–4; 3)
  (–7; –4) (–1; –1) (–4; –5)   (5; –4) (–1; –1) (2; –5)
  (8; 5) (2; 2) (5; 6)   (–4; 5) (2; 2) (–1; 6)
  (–4; –1) (2; 2) (–1; –2)   (8; –1) (2; 2) (5; –2)
  (4; 5) (–2; 2) (1; 6)   (–8; 5) (–2; 2) (–5; 6)
  (–8; –1) (–2; 2) (–5; –2)   (4; –1) (–2; 2) (1; –2)
  (8; 1) (2; –2) (5; 2)   (–4; 1) (2; –2) (–1; 2)
  (–4; –5) (2; –2) (–1; –6)   (8; –5) (2; –2) (5; –6)
  (4; 1) (–2; –2) (1; 2)   (–8; 1) (–2; –2) (–5; 2)

 

8. Преобразование уравнения линии второго порядка
к каноническому виду

 

Постановка задачи

Преобразовать уравнение линии второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

План решения

С помощью поворота системы координат Оxy переходим к системе координат Оx'y', в которой уравнение кривой не содержит произведения текущих координат х'y'.

Угол поворота a системы координат находим из равенства . Подставляя в уравнение линии второго порядка формулы поворота координатных осей получаем уравнение .

Далее, выделив полные квадраты по обеим переменным (или по одной переменной, если одно из чисел равно нулю), с помощью параллельного переноса системы координат Оx'y' переходим к системе О'x"y", в которой уравнение кривой имеет канонический вид.

Строим полученную кривую.

Условие задачи

Преобразовать уравнение линии второго порядка (табл. 8) к каноническому виду и построить кривую.

Таблица 8

Уравнение линии
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Окончание табл. 8

 
 
 
 
 

 

9. Прямая линия в пространстве и плоскость

 

Постановка задачи

Заданы координаты точек A 1 , A 2 , A 3 , A 4 . Написать канонические уравнения прямых A1A2 и A1A4 и найти острый угол между ними. Написать общее уравнение плоскости A1A2A3. Найти угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3. Написать канонические уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3.

План решения

Канонические уравнения прямой, проходящей через точки М 1(x 1; y 1; z 1), М 2(x 2; y 2; z 2), имеют вид . Подставляя в эти равенства координаты соответствующих точек, получаем искомые уравнения прямых.

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами и . Острый угол α между векторами и находим из равенства .

Используя формулу уравнения плоскости, проходящей через три точки, составляем уравнение плоскости A1A2A3.

Угол β между прямой и плоскостью находим из равенства , где – направляющий вектор прямой, – нормальный вектор плоскости.

Составляем уравнения прямой, проходящей через точку A4 перпендикулярно плоскости A1A2A3. Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости.

Условие задачи

Даны координаты точек A 1 , A 2 , A 3 , A 4 (табл. 9). Написать канонические уравнения прямых A1A2 и A1A4 и найти острый угол между ними. Написать общее уравнение плоскости A1A2A3. Найти угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3. Написать канонические уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3.

Таблица 9

A 1 A 2 A 3 A 4
  (2; 3; 2) (10; 7; 3) (6; 6; 3) (8; 9; 5)
  (3; 5; 2) (1; 7; 5) (5; 6; 8) (1; 6; 4)
  (6; 1; 4) (3; –3; 8) (5; –5; 8) (8; 3; 3)
  (2; 5; 4) (5; 3; 6) (8; 3; 5) (8; 2; 10)
  (3; 4; 3) (7; –4; 4) (6; 0; 4) (9; 10; 6)
  (1; 2; 3) (3; 4; 6) (–3; 1; 6) (3; 3; 5)
  (3; 5; 1) (0; 1; 5) (1; 0; 5) (7; 9; –1)
  (5; –2; 4) (7; 1; 6) (7; 4; 5) (8; 4; 10)
  (1; 2; 1) (9; –2; 2) (–3; 5; 0) (7; 8; –2)
  (4; 1; 3) (2; 3; 6) (5; –3; 6) (3; 3; 5)
  (3; –1; 2) (7; 2; 6) (9; 0; 6) (5; 1; 3)
  (3; 5; 4) (1; 8; 6) (–1; 2; 6) (9; –1; 1)
  (1; 1; 2) (–3; 9; 3) (–2; 5; 3) (7; 7; –1)
  (1; 4; 3) (–1; 6; 6) (6; –4; 0) (2; 2; 1)
  (2; 4; 1) (6; 7; 5) (7; 6; 5) (6; 8; 3)
  (1; 2; 2) (3; 5; 4) (5; –1; 4) (7; 8; 5)
  (2; –2; 1) (10; 2; 2) (6; 1; 2) (8; 4; 4)
  (3; 4; –1) (1; 6; 2) (5; 5; 5) (1; 5; 1)
  (2; 5; 3) (–1; 1; 7) (1; –1; 7) (4; 7; 2)
  (1; 4; 2) (4; 2; 4) (7; 2; 3) (7; 1; 8)
  (3; 1; 4) (7; –7; 5) (6; –3; 5) (9; 7; 7)
  (2; 4; 3) (4; 6; 6) (–2; 3; 6) (4; 5; 5)
  (5; –2; –1) (2; –6; 3) (3; –7; 3) (9; 2; –3)
  (5; 2; 1) (7; 5; 3) (7; 8; 2) (8; 8; 7)
  (2; –1; 7) (10; –5; 8) (–2; 2; 6) (8; 5; 4)
  (4; 7; 8) (2; 9; 11) (5; 3; 11) (3; 9; 10)
  (2; 1; 3) (6; 4; 7) (8; 2; 7) (4; 3; 4)
  (1; 5; 2) (–1; 8; 4) (–3; 2; 4) (7; –1; –1)
  (6; 1; 4) (2; 9; 5) (3; 5; 5) (12; 7; 1)
  (6; 5; 1) (4; 7; 4) (11; –3; –2) (7; 3; –1)

 

Алгебра и геометрия: методические указания к расчетно-графической работе для студентов очной формы обучения направлений подготовки 090900 – «Информационная безопасность» и 090303 – «Информационная безопасность автоматизированных систем»

 

 

Андрей Иванович Гореленков

 

Научный редактор В.М. Кобзев

 

Редактор издательства Л.И. Афонина

 

Компьютерный набор А.И. Гореленков

 

Темплан 2013 г., п. 345

Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная

Офсетная печать. Печ. л. 1,1 Уч.-изд. л. 1,1 Т. 30 экз. Заказ

Издательство Брянского государственного технического университета

Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7. тел. 58-82-49

Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16.


Дата добавления: 2015-10-24; просмотров: 42 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ| ФІЗІОЛОГІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ОРГАНІЗМУ ЛЮДИНИ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.047 сек.)