Алгебра и геометрия

УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета

__________ О.Н. Федонин

«___»____________ 2013 г.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания к расчетно-графической работе

для студентов очной формы обучения направлений подготовки

090900 – «Информационная безопасность»
и 090303 – «Информационная безопасность автоматизированных систем»

Брянск 2013

УДК 511

Алгебра и геометрия [Текст]+[Электронный ресурс]: методические указания к расчетно-графической работе для студентов очной формы обучения направлений подготовки 090900 – «Информационная безопасность» и 090303 – «Информационная безопасность автоматизированных систем». – Брянск: БГТУ, 2013. – 19 с.

Разработал: А.И. Горелёнков, канд. техн. наук, доц.

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол №10 от 11.06.13)

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данные методические указания предназначены для оказания помощи студентам при выполнении расчетно-графической работы (РГР).

Каждой задаче РГР отведен отдельный параграф. Он начинается с общей постановки задачи. Затем следует план решения. Параграф завершают задачи, предназначенные для самостоятельного решения.

Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале группы. Решение задач должно быть представлено к определенному сроку.

1. Матрицы и определители

Постановка задачи

Заданы квадратная матрица А и матрица-строка В. Найти матрицу С = ВАВ ^т, алгебраические дополнения элементов матрицы А, обратную матрицy А ^–1 элементарными преобразованиями. Решить матричные уравнения AX = В ^т, YA = В и найти ранг матриц XY и YX.

План решения

Используя операцию умножения матриц, вычисляем матрицу С = ВАВ ^т.

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Вычисляем определитель матрицы А. Убеждаемся, что он не равен нулю. Следовательно, матрица А имеет обратную матрицу. К матрице А приписываем справа единичную матрицу Е. Элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы (A ¦ E) матрицу А приводим к виду единичной матрицы Е. После преобразований на месте приписанной справа единичной матрицы Е находится обратная матрица А ^–1. Выписываем ее.

Умножая слева обе части матричного равенства АХ = В ^т на А ^–1, получаем решение уравнения – матрицу Х = А ^–1 В ^т. Умножая справа обе части матричного равенства YA = В на А ^–1, получаем решение уравнения – матрицу Y = BА ^–1.

Вычисляем матрицы XY и YX и находим их ранг.

Условие задачи

Даны квадратная матрица А (табл. 1) и матрица-строка . Найти матрицу С = ВАВ ^т, алгебраические дополнения элементов матрицы А, обратную матрицy А ^–1 элементарными преобразованиями. Решить матричные уравнения AX = В ^т, YA = В и найти ранг матриц XY и YX.

Таблица 1

№	Матрица А	№	Матрица А	№	Матрица А

2. Невырожденные системы линейных алгебраических уравнений

Постановка задачи

Решить невырожденную систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными матричным методом, по правилу Крамера и методом Гаусса.

План решения

Записываем матрицу системы A и вычисляем ее определитель det A. Убеждаемся, что он не равен нулю. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Находим обратную матрицу . Умножая слева обе части матричного равенства АХ = В на А ^–1, получаем решение системы – матрицу-столбец Х = А ^–1 В.

Вычисляем определители Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ , полученные из определителя Δ = det A заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов – столбцом свободных членов. По формулам Крамера: , i = 1, 2, 3 находим решение системы уравнений.

Расширенную матрицу системы уравнений элементарными преобразованиями приводим к ступенчатому виду. По ступенчатой матрице восстанавливаем систему уравнений и решаем ее снизу вверх.

Условие задачи

Решить невырожденную систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными (табл. 2) матричным методом, по правилу Крамера и методом Гаусса.

Таблица 2

№	Система уравнений	№	Система уравнений	№	Система уравнений

Окончание табл. 2

№	Система уравнений	№	Система уравнений	№	Система уравнений

3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Постановка задачи

Найти нормальную фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений и записать общее решение системы.

План решения

Записываем основную матрицу системы и элементарными преобразованиями преобразуем ее к ступенчатому виду. По ступенчатой матрице восстанавливаем систему уравнений. Получаем трапецеидальную систему r уравнений с n неизвестными. Определяем, какие неизвестные в системе будут основными, какие свободными. Основные неизвестные оставляем слева, свободные переносим в правые части уравнений.

Для нахождения нормальной фундаментальной системы решений l ₁ , l ₂ , …, l_k последовательно каждой свободной неизвестной присваиваем единичное значение, а остальным свободным неизвестным нулевое значение. Решая полученные системы уравнений, находим l ₁ , l ₂ , …, l_k.

Записываем общее решение однородной системы: , где c ₁ , c ₂ , …, c_k – произвольные постоянные.

Условие задачи

Найти нормальную фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (табл. 3) и записать общее решение системы.

Таблица 3

№	Система уравнений	№	Система уравнений

Окончание табл. 3

№	Система уравнений	№	Система уравнений

4. Операции над векторами в произвольном базисе

Постановка задачи

В произвольном базисе заданы векторы и . Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , острый угол между диагоналями параллелограмма, площадь параллелограмма.

План решения

Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , равны модулям векторов и . Используя свойства и определение скалярного произведения, вычисляем и .

Угол между диагоналями параллелограмма равен углу между векторами и . Острый угол φ между векторами и находим из равенства .

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю их векторного произведения. Используя свойства и определение векторного произведения, вычисляем .

Условие задачи

Даны векторы и . Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , острый угол между диагоналями параллелограмма, площадь параллелограмма.

Значения коэффициентов l, m, n, k, модули векторов , и угол между ними приведены в табл. 4.

Таблица 4

№	l	m	n	k
							30°
							30°
							45°
							30°
							60°
							60°
							30°
							60°
							60°
							30°
							60°

Окончание табл. 4

№	l	m	n	k
							45°
							30°
							60°
							30°
							30°
							60°
							45°
							30°
							60°
							45°
							45°
							45°
							45°
							45°
							60°
							45°
							30°
							60°
							45°

5. Операции над векторами в ортонормированном базисе

Постановка задачи

Заданы координаты точек A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ . Вычислить координаты векторов , , , острый угол между векторами и , площадь треугольника A ₁ A ₂ A ₃, объем пирамиды A ₁ A ₂ A ₃ A ₄.

План решения

Координаты вектора находим как разности соответствующих координат их конца и начала.

По формулам для скалярного произведения двух векторов и длины вектора в ортонормированном базисе вычисляем , , . Острый угол φ между векторами и находим из равенства .

Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна одной второй модуля их векторного произведения. По формуле для векторного произведения двух векторов в ортонормированном базисе вычисляем координаты вектора и его модуль. Находим площадь треугольника.

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах , и , равен одной шестой модуля их смешанного произведения. По формуле для смешанного произведения трех векторов в ортонормированном базисе вычисляем и находим объем пирамиды.

Условие задачи

Даны координаты точек A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ (табл. 5). Вычислить координаты векторов , , , острый угол между векторами и , площадь треугольника A ₁ A ₂ A ₃, объем пирамиды A ₁ A ₂ A ₃ A ₄.

Таблица 5

№	A 1	A 2	A 3	A 4
	(2; 3; 2)	(10; 7; 3)	(6; 6; 3)	(8; 9; 5)
	(3; 5; 2)	(1; 7; 5)	(5; 6; 8)	(1; 6; 4)
	(6; 1; 4)	(3; –3; 8)	(5; –5; 8)	(8; 3; 3)
	(2; 5; 4)	(5; 3; 6)	(8; 3; 5)	(8; 2; 10)
	(3; 4; 3)	(7; –4; 4)	(6; 0; 4)	(9; 10; 6)
	(1; 2; 3)	(3; 4; 6)	(–3; 1; 6)	(3; 3; 5)
	(3; 5; 1)	(0; 1; 5)	(1; 0; 5)	(7; 9; –1)
	(5; –2; 4)	(7; 1; 6)	(7; 4; 5)	(8; 4; 10)
	(1; 2; 1)	(9; –2; 2)	(–3; 5; 0)	(7; 8; –2)
	(4; 1; 3)	(2; 3; 6)	(5; –3; 6)	(3; 3; 5)
	(3; –1; 2)	(7; 2; 6)	(9; 0; 6)	(5; 1; 3)
	(3; 5; 4)	(1; 8; 6)	(–1; 2; 6)	(9; –1; 1)
	(1; 1; 2)	(–3; 9; 3)	(–2; 5; 3)	(7; 7; –1)
	(1; 4; 3)	(–1; 6; 6)	(6; –4; 0)	(2; 2; 1)
	(2; 4; 1)	(6; 7; 5)	(7; 6; 5)	(6; 8; 3)
	(1; 2; 2)	(3; 5; 4)	(5; –1; 4)	(7; 8; 5)
	(2; –2; 1)	(10; 2; 2)	(6; 1; 2)	(8; 4; 4)
	(3; 4; –1)	(1; 6; 2)	(5; 5; 5)	(1; 5; 1)

Окончание табл. 5

№	A 1	A 2	A 3	A 4
	(2; 5; 3)	(–1; 1; 7)	(1; –1; 7)	(4; 7; 2)
	(1; 4; 2)	(4; 2; 4)	(7; 2; 3)	(7; 1; 8)
	(3; 1; 4)	(7; –7; 5)	(6; –3; 5)	(9; 7; 7)
	(2; 4; 3)	(4; 6; 6)	(–2; 3; 6)	(4; 5; 5)
	(5; –2; –1)	(2; –6; 3)	(3; –7; 3)	(9; 2; –3)
	(5; 2; 1)	(7; 5; 3)	(7; 8; 2)	(8; 8; 7)
	(2; –1; 7)	(10; –5; 8)	(–2; 2; 6)	(8; 5; 4)
	(4; 7; 8)	(2; 9; 11)	(5; 3; 11)	(3; 9; 10)
	(2; 1; 3)	(6; 4; 7)	(8; 2; 7)	(4; 3; 4)
	(1; 5; 2)	(–1; 8; 4)	(–3; 2; 4)	(7; –1; –1)
	(6; 1; 4)	(2; 9; 5)	(3; 5; 5)	(12; 7; 1)
	(6; 5; 1)	(4; 7; 4)	(11; –3; –2)	(7; 3; –1)

6. Собственные значения и собственные векторы
линейного оператора

Постановка задачи

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора Α, заданного в некотором базисе матрицей А.

План решения

Составляем характеристическое уравнение и находим все его действительные корни . Числа являются собственными значениями линейного оператора А.

Для каждого собственного значения записываем однородную систему уравнений и находим ее фундаментальную систему решений. Решения фундаментальной системы являются собственными векторами линейного оператора А.

Условие задачи

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора Α, заданного в некотором базисе матрицей А (табл. 6).

Таблица 6

№	Матрица А	№	Матрица А	№	Матрица А

Окончание табл. 6

№	Матрица А	№	Матрица А	№	Матрица А

7. Прямая линия на плоскости

Постановка задачи

Заданы координаты точек A, B, C. Написать каноническое и общее уравнения прямой AB, найти её угловой коэффициент. Написать каноническое и общее уравнения прямой AС, найти её угловой коэффициент. Вычислить угол между прямыми AB и AС (в градусах). Написать общее уравнение высоты CD и найти её длину, не используя координаты точки D. Написать общее уравнение медианы CE. Найти координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

План решения

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М ₁(x ₁; y ₁), М ₂(x ₂; y ₂), имеет вид . Подставляя в это равенство координаты точек A и B (A и С), получаем искомое уравнение прямой AB (прямой АС). Преобразовываем каноническое уравнение в общее уравнение и в уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угол между прямыми находим из равенства , где k ₁, k ₂ – угловые коэффициенты прямых AB и AС.

Для составления уравнения высоты воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Длину высоты CD находим по формуле расстояния от точки С до прямой АВ.

Вычисляем координаты середины отрезка АВ – точки Е. Составляем каноническое уравнение прямой, проходящей через точки С и Е. Преобразовываем каноническое уравнение в общее уравнение.

Составляем уравнение высоты BF. Координаты точки пересечения высот треугольника ABC находим, решая систему двух уравнений – уравнений высот CD и BF.

Условие задачи

Даны координаты точек A, B, C (табл. 7). Написать каноническое и общее уравнения прямой AB, найти её угловой коэффициент. Написать каноническое и общее уравнения прямой AС, найти её угловой коэффициент. Вычислить угол между прямыми AB и AС (в градусах). Написать общее уравнение высоты CD и найти её длину, не используя координаты точки D. Написать общее уравнение медианы CE. Найти координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

Таблица 7

№	A	B	C	№	A	B	C
	(7; 4)	(1; 1)	(4; 5)		(–5; 4)	(1; 1)	(–2; 5)
	(–5; –2)	(1; 1)	(–2; –3)		(7; –2)	(1; 1)	(4; –3)
	(5; 4)	(–1; 1)	(2; 5)		(–7; 4)	(–1; 1)	(–4; 5)

Окончание табл. 7

№	A	B	C	№	A	B	C
	(–7; –2)	(–1; 1)	(–4; –3)		(5; –2)	(–1; 1)	(2; –3)
	(7; 2)	(1; –1)	(4; 3)		(–5; 2)	(1; –1)	(–2; 3)
	(–5; –4)	(1; –1)	(–2; –5)		(7; –4)	(1; –1)	(4; –5)
	(5; 2)	(–1; –1)	(2; 3)		(–7; 2)	(–1; –1)	(–4; 3)
	(–7; –4)	(–1; –1)	(–4; –5)		(5; –4)	(–1; –1)	(2; –5)
	(8; 5)	(2; 2)	(5; 6)		(–4; 5)	(2; 2)	(–1; 6)
	(–4; –1)	(2; 2)	(–1; –2)		(8; –1)	(2; 2)	(5; –2)
	(4; 5)	(–2; 2)	(1; 6)		(–8; 5)	(–2; 2)	(–5; 6)
	(–8; –1)	(–2; 2)	(–5; –2)		(4; –1)	(–2; 2)	(1; –2)
	(8; 1)	(2; –2)	(5; 2)		(–4; 1)	(2; –2)	(–1; 2)
	(–4; –5)	(2; –2)	(–1; –6)		(8; –5)	(2; –2)	(5; –6)
	(4; 1)	(–2; –2)	(1; 2)		(–8; 1)	(–2; –2)	(–5; 2)

8. Преобразование уравнения линии второго порядка
к каноническому виду

Постановка задачи

Преобразовать уравнение линии второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

План решения

С помощью поворота системы координат Оxy переходим к системе координат Оx'y', в которой уравнение кривой не содержит произведения текущих координат х'y'.

Угол поворота a системы координат находим из равенства . Подставляя в уравнение линии второго порядка формулы поворота координатных осей получаем уравнение .

Далее, выделив полные квадраты по обеим переменным (или по одной переменной, если одно из чисел равно нулю), с помощью параллельного переноса системы координат Оx'y' переходим к системе О'x"y", в которой уравнение кривой имеет канонический вид.

Строим полученную кривую.

Условие задачи

Преобразовать уравнение линии второго порядка (табл. 8) к каноническому виду и построить кривую.

Таблица 8

№	Уравнение линии

Окончание табл. 8

9. Прямая линия в пространстве и плоскость

Постановка задачи

Заданы координаты точек A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ . Написать канонические уравнения прямых A₁A₂ и A₁A₄ и найти острый угол между ними. Написать общее уравнение плоскости A₁A₂A₃. Найти угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. Написать канонические уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃.

План решения

Канонические уравнения прямой, проходящей через точки М ₁(x ₁; y ₁; z ₁), М ₂(x ₂; y ₂; z ₂), имеют вид . Подставляя в эти равенства координаты соответствующих точек, получаем искомые уравнения прямых.

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами и . Острый угол α между векторами и находим из равенства .

Используя формулу уравнения плоскости, проходящей через три точки, составляем уравнение плоскости A₁A₂A₃.

Угол β между прямой и плоскостью находим из равенства , где – направляющий вектор прямой, – нормальный вектор плоскости.

Составляем уравнения прямой, проходящей через точку A₄ перпендикулярно плоскости A₁A₂A₃. Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости.

Условие задачи

Даны координаты точек A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ (табл. 9). Написать канонические уравнения прямых A₁A₂ и A₁A₄ и найти острый угол между ними. Написать общее уравнение плоскости A₁A₂A₃. Найти угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. Написать канонические уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃.

Таблица 9

№	A 1	A 2	A 3	A 4
	(2; 3; 2)	(10; 7; 3)	(6; 6; 3)	(8; 9; 5)
	(3; 5; 2)	(1; 7; 5)	(5; 6; 8)	(1; 6; 4)
	(6; 1; 4)	(3; –3; 8)	(5; –5; 8)	(8; 3; 3)
	(2; 5; 4)	(5; 3; 6)	(8; 3; 5)	(8; 2; 10)
	(3; 4; 3)	(7; –4; 4)	(6; 0; 4)	(9; 10; 6)
	(1; 2; 3)	(3; 4; 6)	(–3; 1; 6)	(3; 3; 5)
	(3; 5; 1)	(0; 1; 5)	(1; 0; 5)	(7; 9; –1)
	(5; –2; 4)	(7; 1; 6)	(7; 4; 5)	(8; 4; 10)
	(1; 2; 1)	(9; –2; 2)	(–3; 5; 0)	(7; 8; –2)
	(4; 1; 3)	(2; 3; 6)	(5; –3; 6)	(3; 3; 5)
	(3; –1; 2)	(7; 2; 6)	(9; 0; 6)	(5; 1; 3)
	(3; 5; 4)	(1; 8; 6)	(–1; 2; 6)	(9; –1; 1)
	(1; 1; 2)	(–3; 9; 3)	(–2; 5; 3)	(7; 7; –1)
	(1; 4; 3)	(–1; 6; 6)	(6; –4; 0)	(2; 2; 1)
	(2; 4; 1)	(6; 7; 5)	(7; 6; 5)	(6; 8; 3)
	(1; 2; 2)	(3; 5; 4)	(5; –1; 4)	(7; 8; 5)
	(2; –2; 1)	(10; 2; 2)	(6; 1; 2)	(8; 4; 4)
	(3; 4; –1)	(1; 6; 2)	(5; 5; 5)	(1; 5; 1)
	(2; 5; 3)	(–1; 1; 7)	(1; –1; 7)	(4; 7; 2)
	(1; 4; 2)	(4; 2; 4)	(7; 2; 3)	(7; 1; 8)
	(3; 1; 4)	(7; –7; 5)	(6; –3; 5)	(9; 7; 7)
	(2; 4; 3)	(4; 6; 6)	(–2; 3; 6)	(4; 5; 5)
	(5; –2; –1)	(2; –6; 3)	(3; –7; 3)	(9; 2; –3)
	(5; 2; 1)	(7; 5; 3)	(7; 8; 2)	(8; 8; 7)
	(2; –1; 7)	(10; –5; 8)	(–2; 2; 6)	(8; 5; 4)
	(4; 7; 8)	(2; 9; 11)	(5; 3; 11)	(3; 9; 10)
	(2; 1; 3)	(6; 4; 7)	(8; 2; 7)	(4; 3; 4)
	(1; 5; 2)	(–1; 8; 4)	(–3; 2; 4)	(7; –1; –1)
	(6; 1; 4)	(2; 9; 5)	(3; 5; 5)	(12; 7; 1)
	(6; 5; 1)	(4; 7; 4)	(11; –3; –2)	(7; 3; –1)

Алгебра и геометрия: методические указания к расчетно-графической работе для студентов очной формы обучения направлений подготовки 090900 – «Информационная безопасность» и 090303 – «Информационная безопасность автоматизированных систем»

Андрей Иванович Гореленков

Научный редактор В.М. Кобзев

Редактор издательства Л.И. Афонина

Компьютерный набор А.И. Гореленков

Темплан 2013 г., п. 345

Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная

Офсетная печать. Печ. л. 1,1 Уч.-изд. л. 1,1 Т. 30 экз. Заказ

Издательство Брянского государственного технического университета

Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7. тел. 58-82-49

Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16.

Дата добавления: 2015-10-24