Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется поверхность, которая в декартовой системе координат описывается следующим уравнени- ем:

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz +

+2a23yz + a01x + a02y + a03z + a00 = 0, (7.22)

где aik- константы. Заметим, что первые шесть слагаемых в (7.22) образуют квадратичную форму, а следующие три - линейную. От- метим следующие поверхности второго порядка:

1. Сфера с центром в точке (a, b, c) радиуса R:

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2

(рассмотрена в п.7.1).

2. Эллипсоид.

Поверхность, определяемая от- носительно какой-либо декартовой системы координат уравнением

x2 y2 z2

Рис. 7.14.

a2 + b2 + c2 = 1,

называется эллипсоидом

(рис. 7.14), а величины a, b, c

- его полуосями. Исследуем эту поверхность с помощью сечений.

Сечением эллипсоида плоскостью z = h будет эллипс (при |h| < с)





Полуоси этого эллипса будут

наибольшими при
h = 0. Сечения эллипсоида плоскостями, парал-

лельными координатным, также являются эллипсами.

Если две полуоси эллипсоида равны, то это эллипсоид вращения. При a = b = c имеем сферу.

7.9. Поверхности второго порядка 97

8. Цилиндры второго порядка.

x2 y2 2

a2 + b2 = 1 y

а б

= 2px

x2 y2

a2 − b2 = 1

в

Уравнения

x2 y2

Рис. 7.20.

2 y2 y2

a2 + b2 = 1, y

= 2px,

a2 − b2 = 1

на плоскости XOY определяют эллипс, параболу и гиперболу, а в пространстве - эллиптический, параболический и гиперболический цилиндры, показанные на рисунках 7.20, а, б, в соответственно. Об- разующие цилиндров параллельны оси аппликат, а направляющими служат названные кривые.

Если уравнение второй степени распадается на два уравнения

первой степени, то уравнение будет определять пару либо пересека- ющихся, либо параллельных, либо слившихся плоскостей.

Уравнение (7.22) можно привести к каноническому виду по той же схеме, как и в случае кривых второго порядка: сначала перейти к новому ортонормированному базису из собственных векторов входя- щей в него квадратичной формы, а затем совершить параллельный перенос системы координат в новое начало.

7.8. Приведение уравнения кривых второго порядка 91

b2 = c2 − a2, получим каноническое уравнение гиперболы

x2 y2

Рис. 7.12.

a2 − b2 = 1.

Гипербола - кривая, симмет-

ричная относительно осей коорди- нат и начала координат (рис. 7.12). Точки A1(−a, 0), A2(a, 0) называ- ются вершинами гиперболы. Так как |x| ≥ a, то гипербола нахо- дится вне полосы, ограниченной прямыми x = ±a. Ось OY назы- вают мнимой осью гиперболы, а ось OX - действительной. Пря-

b

мые y = ± ax являются асимптота-

ми гиперболы. Число a называют

действительной полуосью гиперболы, а число b - мнимой полуосью.

Величина ε = c

aa

называется эксцентриситетом гиперболы, ε > 1,

а прямые x = ± ε- её директрисами. Они обладают тем же свой- ством, что и для эллипса.

Пример. Докажите, что уравнение 4x2 − 24x − 9y2 + 36y = 36

определяет гиперболу. Найдите её центр симметрии и асимптоты.

Решение. Выделяя полные квадраты, данное уравнение мож-

(x − 3)2

но записать в виде 4(x − 3)2 − 9(y − 2)2 = 36 или −

(y − 2)2

− = 1. Положим x1 = x − 3, y1 = y − 2. Тогда

x

2 y2

−

1 1 = 1.

9 4

Данная кривая - гипербола с центром в точке x1 = x − 3 = 0,

y1 = y − 2 = 0, т.е. в точке (3, 2). Уравнение асимптот гиперболы име- ет вид y − 2 = ± 2 (x − 3) или 2x − 3y = 0, 2x + 3y − 12 = 0.

Итак, мы рассмотрели кривые второго порядка: эллипс, эксцен- триситет которого меньше единицы, гиперболу, эксцентриситет ко- торого больше единицы. Кривая второго порядка, эксцентриситет которой равен единице, является параболой (рассмотрена в п. 7.1).

Дата добавления: 2015-09-01