Пример 2

Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0.

Решение.

Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всех x, то искомая функция также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0.
Так как , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию

которая будет непрерывной при любом действительном x.

Пример3

Найти точки разрыва функции , если они существуют.

Решение.

Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется.

Вычислим односторонние пределеы при x = 0.

Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен

При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.

Пример 4

Найти точки разрыва функции , если они существуют.

Решение.

Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.

Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).

Рис.2		Рис.3

Пример5

Найти точки разрыва функции , если таковые существуют.

Решение.

Функция определена и непрерывна при всех x, за исключением точки , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва.

Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.

Дата добавления: 2015-09-05