Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Исследование функции на перегиб.

Читайте также:
  1. C. возрастание титра антител в динамике в 4 раза D. исследование титра антител однократно в начале заболевания E. исследование титра антител однократно в конце заболевания
  2. Callback-методы S-функции
  3. E 22.8 Другие состояния гиперфункции Гипофиза
  4. H74.1 Адгезивный отит с нарушением слуховой функции
  5. I. Объект, предмет и функции курса
  6. I.7. Характеристические функции.
  7. II. Требования, предъявляемые к порядку исполнения государственной функции

Практическая работа № 19

Нахождение точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости

Цель работы: проверить умения и знания по нахождению интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба.

Теоретический материал.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Исследование функции на перегиб.

 

Кривая называется выпуклой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной в точке

Кривая называется вогнутой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной в точке

Точка, в которой меняется направление выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба.

Промежутки, в которых график функции выпуклый или вогнутый, называются промежутками выпуклости.

Выпуклость характеризуется знаком второй производной:

Теорема: Если вторая производная функции в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости:

  1. Найти вторую производную
  2. Найти критические точки второго рода, то есть точки, в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак второй производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.

Если в некотором промежутке вторая производная положительна, то функция на нем вогнута, если – отрицательна, то выпукла

Пример 1: Найти промежутки выпуклости кривой

Решение:

   
+   -   +
     

 

Пример 2. Найти точки перегиба кривой

Решение:

-1
    -     +
       

 

. Точка перегиба

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

 

1. D(y)=

2.E(y)=

3. - функция нечетная, график симметричен относительно начала координат, непериодичная

4.

5. - вертикальные асимптоты

Найдем наклонные асимптоты.

 

- уравнение наклонной асимптоты.

 

6.

 

Критические точки:

 

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

 

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

 

7.

.

 

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

 

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

 

 

 

 


Дата добавления: 2015-09-05; просмотров: 241 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Построение итоговых запросов с вычисляемыми полями| Найти интервалы выпуклости и точки перегиба кривой.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)