Подгруппы

п.1. Подгруппы. Критерии подгруппы. Пусть G = (G; *) - группа, а G ₁ - непустое подмножество основного множества G.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что подмножество G ₁ множества G образует относительно бинарной операции * подгруппу группы

G = (G; *), если алгебра G₁ = (G ₁; *) является группой.

При этом применяется запись G ₁pG. По-другому, G ₁p G тогда и только тогда, когда G ₁ = (G ₁ ; *) является подалгеброй группы G = (G; *).

Каждая группа G имеет, очевидно, следующие тривиальные подгруппы: саму группу G,так как G p G и подгруппу E = ({ e }; *).

Но, конечно, в группе могут быть и другие подгруппы. Для выяснения того, образует ли непустое подмножество G ₁ множества G подгруппу группы G, можно воспользоваться двумя следующими критериями.

ТЕОРЕМА 1 (критерий 1). Для того, чтобы непустое подмножество G ₁ множества G группы G = (G; *) образовало подгруппу этой группы, необходимо и достаточно, чтобы подмножество G ₁:

1) было замкнуто относительно бинарной операции *, то есть выполнялось условие (" g ₁ ^', g ₁ ^" Î G ₁)[ g ₁ ^' * g ₁^"Î G ₁];

2) вместе с любым своим элементом g ₁ содержало и симметричный ему элемент s (g ₁).

Доказательство. Необходимость. Пусть подалгебра G ₁= (G ₁; *) является подгруппой группы G = (G; *). Тогда по основному определению группы, подмножество G ₁ вместе с любыми своими элементами g ₁^'и g ₁ ^" содержит также элементы: 1) g ₁ ^' * g ₁ ^"; 2) s (g ₁^').

Достаточность. Так как G ₁ Í G и G - группа, то ассоциативность бинарной операции * на подмножестве G ₁, так же как и ее однозначность, проверки не требует (выполнение аксиомы G1).

По условию критерия подмножество G ₁ непустое, то есть оно содержит, по крайней мере, один элемент g ₁. Поэтому по условиям 1) и 2), подмножество G ₁ содержит также s (g ₁) (выполнение аксиомы 3) и g ₁* s (g ₁) = e (выполнение аксиомы G2). Таким образом, по первому определению группы, G₁= (G ₁; *) p G= (G; *).

т.д.

ТЕОРЕМА 2 (критерий 2). Для того, чтобы непустое подмножество G ₁ множества G группы G = (G; *) образовало подгруппу этой группы, необходимо и достаточно, чтобы подмножество G ₁ вместе с любыми своими элементами g ₁ ^' и g ₁ ^" содержало элемент g ₁^'* s (g ₁^").

Интересующийся читатель может найти доказательство в монографии Н.Бурбаки. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. -М: ГИФМЛ,1962, стр.86-87, предложение 1.

Дата добавления: 2015-08-27