Температурные напряжения в неравномерно нагретом стержне с жесткой концевой пластиной (бандажом)

Рассмотрим длинный стержень 1 прямоугольного сечения 2, размеры которого можно характеризовать соотношением L >> H >> h (рис. 6.2). На конце стержня имеется жесткая пластина-бандаж 3. Для простоты будем считать, что температура изменяется только по ширине стержня H, при этом профиль температуры симметричный и крайние волокна нагреты больше средних.

Для получения картины распределения напряжений мысленно выделим в стержне волокна: два крайних с температурой t ₁ и одно среднее с температурой t ₂. При отсутствии поперечных связей свободная температурная деформация крайнего волокна была бы больше, чем свободная температурная деформация среднего. Однако наличие жесткой концевой пластины-бандажа приводит к установлению у всех волокон одинаковой деформации ε, отличающейся от свободной температурной. Для определения величины возникающих при этом температурных напряжений воспользуемся принципом скрытой деформации, применяя его к отдельным волокнам:

(6.5)

σ ₁= E { ε -  β(  t ₁ - t ₀)}, σ ₂= E { ε -  β(  t ₂ - t ₀)},

где σ ₁, σ ₂ — напряжения в крайних и среднем волокнах.

Условие равновесия пластины-бандажа есть равенство нулю суммы сил, действующих на нее со стороны горячих и холодных волокон:

(6.6)

2 σ ₁ F ₁+ σ ₂ F ₂=0,

где F ₁, F ₂ — площади сечений горячих и холодных волокон.

Рассматривая выражения (6.5) и (6.6) как систему трех уравнений с тремя неизвестными σ ₁, σ ₂  и ε, получим

(6.7)

σ ₁= βE (t_ср - t ₁), σ ₂= βE (t_ср - t₂), ε=β(  t_ср - t ₀),

где t_ср =(2 F ₁ t ₁+ F ₂ t ₂)¤(2 F ₁+ F ₂) — средняя температура сечения.

Из полученных выражений следует, что температурные напряжения в более нагретых волокнах, где t₁> t_ср, будут напряжениями сжатия (σ₁<0), в менее нагретых, где t₂< t_ср,— напряжениями растяжения (σ₂>0). Величина напряжений не зависит от начальной температуры детали, а определяется распределением температуры по сечению. Наблюдаемая деформация ε будет такой же, как при нагреве стержня до средней температуры.

Дата добавления: 2015-08-26