Кодирование целых чисел

Любое целое число можно представить в виде разложения в полином с основанием два. Коэффициентами полинома являются числа 0 и 1. Например, число 11 может быть представлено в такой форме:

1 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 11

Коэффициенты этого полинома образуют двоичную запись числа 11: 1011.

Первый разряд используется для хранения знака числа. Обычно «+» кодируется нулём, а «–» – единицей. Диапазон представления целых чисел зависит от числа двоичных разрядов. С помощью одного байта могут быть представлены числа в диапазоне от –128 до +127. При использовании двух байтов могут быть представлены числа от –32 768 до +32 767.

Алгоритм перевода двоичных чисел в десятичные достаточно прост (его иногда называют алгоритмом замещения):

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

10110110₂ = (1·2⁷)+(0·2⁶)+(1·2⁵)+(1·2⁴)+(0·2³)+(1·2²)+(1·2¹)+(0·2⁰) = 128+32+16+4+2 = 182₁₀

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную используют так называемый "алгоритм замещения", состоящий из следующей последовательности действий:

1. Делим десятичное число А на 2. Частное Q запоминаем для следующего шага, а остаток a записываем как младший бит двоичного числа.

2. Если частное q не равно 0, принимаем его за новое делимое и повторяем процедуру, описанную в шаге 1. Каждый новый остаток (0 или 1) записывается в разряды двоичного числа в направлении от младшего бита к старшему.

3. Алгоритм продолжается до тех пор, пока в результате выполнения шагов 1 и 2 не получится частное Q = 0 и остаток a = 1.

Например, требуется перевести десятичное число 247 в двоичное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим:

247₁₀: 2 = 123₁₀

247₁₀ - 246₁₀ = 1, остаток 1 записываем в МБ двоичного числа.

123₁₀: 2 = 61₁₀

123₁₀ - 122₁₀ = 1, остаток 1 записываем в следующий после МБ разряд двоичного числа.

61₁₀: 2 = 30₁₀

61₁₀ - 60₁₀ = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

30₁₀: 2 = 15₁₀

30₁₀ - 30₁₀ = 0, остаток 0 записываем в старший разряд двоичного числа.

15₁₀: 2 = 7₁₀

15₁₀ - 14₁₀ = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

7₁₀: 2 = 3₁₀

7₁₀ - 6₁₀ = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

3₁₀: 2 = 1₁₀

3₁₀ - 2₁₀ = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

1₁₀: 2 = 0₁₀, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

Таким образом, искомое двоичное число равно 11110111₂.

Вопрос №15

Арифметические действия в двоичной системе производится по тем же правилам что и в десятичной системе вычисления. Однако так как в двоичной системе исчисления используются только две цифры 0 и 1, то арифметические действия выполняются проще, чем десятичной системе.

Дата добавления: 2015-08-17