Движение тела переменной массы.

Билет №7.

Закон сохранения импульса.

Импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Замкнутая система – это система, на которую не действуют другие тела или сумма всех внешних сил равна нулю.

Движение тела переменной массы.

Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).
Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величины v+dv. Изменение импульса системы за время dt будет равно:

где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:

Если на систему действуют внешние силы, то или dp = Fdt. Тогда Fdt = mdv + udm, или

(2.12)

где член называют реактивной силой F_p.

Если вектор u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.

Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:

(2.13)

Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского.
Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая F = 0 и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:

откуда

или

где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени v =0, а стартовая масса ракеты составляет m₀, то C = u*ln m₀. Следовательно,

(2.14)

Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:
а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m₀;
б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости v и u намного меньше скорости света c.

Дата добавления: 2015-08-17