Практическое занятие 3. Предел функции

Предел функции. Дифференцирование

Три нижних кнопки инструментальной панели Calculus

предназначены для вычисления пределов функций.

Попробуем вначале вычислить замечательные пределы.

1.

2.

Как видно, получен вполне удовлетворительный результат.

Можно вычислить также пределы слева и справа.

Так предел функции при x -> -0 равен 0, а при x -> +0 стремится к бесконечности.

Вычисление предела - это операция символьной математики и поэтому завершается символом стрелки вправо ->.

Дифференцирование

По определению, производная функции есть:

Вычислим по определению производную функции

при

В Mathcad для вычисления производной используется палитра Calculus. Так, для решения той же задачи мы могли написать:

Причём символ дифференцирования выбирается только с палитры.

вводить его "вручную" нельзя.

Заканчивается операция дифференцирования знаком =, если вы хотите получить численное значение производной в точке, и значком ->, если

необходимо получить символьное значение.

Рассмотрим несколько примеров:

но, поскольку переменная х определена

можно вычислить и довольно экзотическую производную

Исследование функций

Предел функции и производную можно использовать для исследования функций. Мы не будем рассматривать полную схему исследования, вычислим лишь точки экстремума и найдём наклонные асимптоты.

Рассмотрим функцию

на интервале

Вычислим производную:

В точке локального максимума

Разрешим это уравнение

Наклонная асимптота определяется уравнением:

Вычислим

и построим на том же графике асимптоту.

Можно ещё вычислить предел производной в точке х=0 слева и справа.

В нуле функция непрерывна, но производная имеет разрыв второго рода.

Рассмотрим ещё одну задачу. Необходимо построить эллипс,

касательные и нормали к нему в точках (), ().

Для простоты запишем уравнение эллипса в параметрической форме:

Положим , для точки , и вычислим угловой коэффициент касательной.

свободный член уравнения

Угловой коэффициент нормали вычисляется как

и свободный член

-касательная

-нормаль

Нормаль и касательную в т. () постройте самостоятельно.

Дата добавления: 2015-08-18