Связь между напряжениями и деформациями. Плоское напряженное и плоское деформированное состояние.

Связь между деформацией тела и возникающим в нем напряжением графически изображается в виде диаграммы растяжения. Рассмотрим диаграмму растяжения на примере деформации продольного растяжения. Возьмем тонкий стержень и будем постепенно увеличивать внешнюю силу, измеряя для каждой силы соответствующую относительную деформацию (рис. 7.16).

Отметим, что в условиях статического равновесия, как отмечалось ранее, напряжение равно внешнему усилию. Для небольших внешних сил напряжение, возникающее в стержне, прямо пропорционально относительной деформации σε. Максимальное напряжение, при котором еще выполняется прямо пропорциональная зависимость между σ и ε, называется пределом пропорциональности σп. Участок OA на диаграмме получил название участка пропорциональности. На этом участке деформация является упругой и описывается законом Гука. Выше точки A относительная деформация увеличивается быстрее, чем напряжение, в результате исчезает линейная зависимость между σ и ε. Напряжение σупр, соответствующее предельному значению, при котором деформации еще остаются упругими, называется пределом упругости. Участок кривой AA1 очень мал. Обычно в практических расчетах пределы пропорциональности и упругости совпадают. При напряжениях, более высоких, чем, в стержне после прекращения действия внешней силы возникают остаточные или пластические деформации. В этом случае тело возвращается к ненапряженному состоянию по линии σупрA1A2, а не по AO.

Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (порядка 0,2 %), называется пределом пластичности σпл. Участок B1B2 получил название участка текучести материала или участка пластических деформаций. На участке B1 2 B относительная деформация для некоторых материалов возрастает без увеличения нагрузки. Пластические деформации используются в специальных методах обработки металлов: при прокате, волочении, ковке, штамповке.

Материалы, для которых участок текучести значительный, называют вязкими или пластичными (влажная глина, вар, каучук и др.). Материалы, у которых участок текучести практически отсутствует, называют хрупкими (стекло, кирпич, бетон и др.). Заметим, что механические свойства тел зависят от внешних факторов. Так, свинец при комнатной температуре пластичен, при низких же температурах становится хрупким.

Если деформацию, при которой пройден предел пропорциональности, и последующее прекращение действия деформирующих сил повторить несколько раз, то упругость материала образца увеличится и предел пропорциональности будет соответствовать большему напряжению, чем в первый раз. Это явление называется наклепом. Чтобы вернуть материалу прежние свойства, его необходимо обжечь, т. е. выдержать при высокой температуре, а затем медленно охладить.

После прохождения площадки текучести материал вновь оказывает сопротивление деформации и для его удлинения необходимо увеличить нагрузку — кривая поднимается. Максимальное напряжение σпр, возникающее в стержне до разрушения (точка C), называется пределом прочности. При напряжении, близком к пределу прочности материала, внешние силы не полностью уравновешиваются силами упругости. При этом в одном из сечений тела образуется сужение, называемое шейкой, и напряжение здесь возрастает в сравнении с другими местами тела, поскольку площадь сечения шейки меньше, что и приводит к разрушению тела. Соответствующий участок на графике обозначен пунктиром.

Для всех твердых тел характерна довольно сложная зависимость деформации от времени (рис. 7.17). После приложения силы деформация достигает максимального значения не сразу, а после определенного интервала времени. Сначала достаточно быстро (со скоростью звука) устанавливается деформация AB, затем деформация продолжает постепенно возрастать с течением времени по кривой BC, асимптотически приближаясь к равновесному значению. После прекращения действия внешней силы деформация также быстро уменьшается на величину CD, а затем уменьшается по кривой DE на протяжении некоторого промежутка времени. Это медленное увеличение или уменьшение деформации твердого тела при неизменном напряжении получило название упругого последействия. Продолжительность изменения деформации (от микросекунд до достаточно больших промежутков времени) зависит от вида и температуры деформации, а

также от свойств твердого тела. Материалы с большим упругим последействием непригодны для производства упругих элементов измерительных приборов, струн музыкальных инструментов и т. д.

Плоское напряженное и плоское деформированное состояния характеризуются следующими особенностями.
1. Все компоненты напряжений не зависят от одной из координат, общей для всех компонент, и остаются постоянными при ее изменении.
2. В плоскостях, нормальных к оси этой координаты: а) компоненты касательных напряжений равны нулю; б) нормальное напряжение или равно нулю (плоское напряженное состояние), или равно полу сумме двух других нормальных напряжений (плоское деформированное состояние).
Примем за ось, о которой говорилось ранее, ось у. Из предыдущего ясно, что эта ось будет главной, т. е. ее можно обозначить также и индексом 2. При этом оХ9 и хХ2 = х2Х не зависят от вместе с тем, а следовательно, и равны нулю. Для плоского напряженного состояния у = 0. Для плоского деформированного состояния (эта особенность плоского деформированного состояния будет доказана далее, на стр. 141). Следует всегда учитывать существенную разницу между плоским напряженным и плоским деформированным состояниями. В первом, в направлении третьей оси, нет нормального напряжения, но есть деформация, во втором есть нормальное напряжение, но нет деформации. Плоское напряженное состояние может быть, например, в пластине, подверженной действию сил, приложенных к ее контуру параллельно плоскости пластины и распределенных равномерно по ее толщине. Изменение толщины пластины в этом случае не имеет значения, и толщина ее может быть принята за единицу. Плоским с достаточной точностью можно считать напряженное состояние фланца при вытяжке цилиндрической заготовки из листового материала.
Плоское деформированное состояние может быть принято для участков цилиндрического 1 или призматического тела большой длины, отдаленных от его концов, если тело нагружено силами, не меняющимися по его длине и направленными перпендикулярно образующим. В плоском деформированном состоянии, например, можно считать брус, подвергающийся осадке в направлении его толщины, когда деформацией по длине можно пренебречь.
Все уравнения напряженного состояния для плоской задачи значительно упрощаются и сокращается количество переменных.
Уравнения для плоской задачи можно легко получить из выведенных ранее для объемного напряженного состояния, учитывая, что принимая ау = 0, поскольку следует рассматривать наклонные площадки только параллельные оси у, т. е. нормальные к площадкам, свободным от напряжений при плоском напряженном состоянии или свободным от деформаций при плоском деформированном состоянии.
В рассматриваемом случае. Таким образом, зная положение наклонной площадки, определяемое углом а, можно найти значения напряжений ан и т, действующих в этой площадке.
Так как то отрезок ОР выражает полное напряжение S. Если элемент напряженного тела, в наклонной грани которого рассматривают напряжения, вычертить так, чтобы главное напряжение о1 было направлено параллельно оси аи, то нормаль N, проведенная к этой наклонной грани, а следовательно, и направление напряжения ан будут параллельны отрезку СР.
Продолжив линию Р02 до пересечения с окружностью, в точке Р' получим вторую пару значений а» и т' для другой наклонной площадки, у которой а = а + 90°, т. е. для площадки, перпендикулярной к первой, с направлением нормали N'. Направления нормалей N и N' можно принять соответственно за направления новых осей х и z, а напряжения с и о — соответственно за координатные напряжения ох и о2. Таким образом, можно определить напряженное состояние в произвольных осях без использования формул (3.44)—(3.46). Абсолютные величины напряжений т и т' равны между собой по закону парности.
Нетрудно решить и обратную задачу: по заданным напряжениям в двух взаимно перпендикулярных площадках ох, т и а2, т' (где т' = т) найти главные напряжения.
Проводим координатные оси он ит (рис. 3.19). Наносим точки Р и Р' с координатами, соответствующими заданным напряжениям ох, т и о2, т. Пересечение отрезка РР' с осью ан определит центр круга Мора 02 с диаметром РР' = 2т31. Далее, если построить оси N, N' (или, что то же, х, г) и повернуть фигуру так, чтобы направления этих осей были параллельны направлениям напряжений ох и о2 в рассматриваемой точке данного тела, то направления осей ан и т диаграммы будут параллельны направлению главных осей 1 и 2.
Дифференциальное уравнение равновесия для плоской задачи получим из уравнений (3.38), учитывая, что все производные по у равны нулю, а также равны нулю тух и хуг.
При решении некоторых задач, относящихся к плоским, иногда бывает удобно пользоваться вместо прямоугольных координат полярными, определяя положение точки радиусом-вектором р и полярным углом 6, т. е. углом, который составляет радиус-вектор с осью р. Условия равновесия в полярных координатах легко получить из тех же условий в цилиндрических координатах, приравняв. Частным случаем плоской задачи является такой, когда напряжения не зависят также и от координаты 0 (симметричное относительно оси распределение напряжений). В этом случае обратятся в нуль производные по 0 и напряжения тр0 и т0р, а условия равновесия определятся одним дифференциальным уравнением.
Ясно, что напряжения стр и <т0 здесь являются главными.
Такое напряженное состояние можно принять для фланца круглой заготовки при вытяжке без прижима цилиндрического стакана.

Дата добавления: 2015-08-17