Читайте также:
|
Раздел «Аналитическая геометрия»
1) Найдите точку пересечения прямой и плоскости
a) 
; y+2y+3z–14=0
b) 
; x+3y–5z+9=0
c) 
; 4x+2y–z–11=0
2) Определить тип кривой и построить эту кривую в системе координат OXY
a) 25 x2 + 169 y2 = 4225
b) 576 x2 – 49 y2 = 28224
c) x2 = –8x – 12y – 4
Раздел «Алгебра и геометрия»
1) Разложить многочлен 
на неприводимые над R и C.
[Ответ: 
]
2) Даны векторы 
При каких 
указанные векторы образуют базис пространства 
?
[Ответ: при 
]
3) Линейный оператор в 
задан матрицей 
. Диагонализировать его (найти ортонормированный базис из собственных векторов).
[Ответ: 
]
Раздел «Дискретная математика»
1) Получить известную формулу для суммы 
первых 
членов геометрической прогрессии, составив и решив рекуррентное уравнение для последовательности 
2) Для графа G найти циклический ранг и какой-нибудь остов, эйлерову цепь, плоский граф, изоморфный графу G, где:
а) G – куб;
в) G – октаэдр.
Раздел «Математический анализ»
1. Вычислите пределы: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
2. Найти суммы рядов: а) 
; б) 
.
3. Найти интегралы: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
4. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: а) 
; б) 
.
5. Вычислить криволинейный интеграл 
, если 
, 
и а) 
- отрезок прямой; б) - дуга параболы 
; в) - ломаная 
, где 
.
6. Вычислить криволинейный интеграл 
, где 
.
7. Исследовать на экстремум: 
; 
.
8. Исследовать на условный экстремум: а) 
, 
; 
. б) 
, 
.
9. Найдите интервал и радиус сходимости, исследуйте на абсолютную или условную сходимость на границах интервала: а) 
; б) 
; г) 
.
10. Вычислить: а) 
; б) 
.
11. Восстановить аналитическую функцию 
по ее действительной части 
, если 
.
12. Функцию 
разложить в ряды Лорана в кольцах аналитичности.
13. С помощью теоремы Коши о вычетах вычислить: а) 
; б) 
.
14. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функции: а) 
на 
; б) 
на 
.
Раздел «Дифференциальные уравнения»
1. Построить последовательные приближения (нулевое, первое и второе) к решениям уравнений:
а) 
Ответ: 
б) 
Ответ: 
2. Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует решение с данными начальными условиями:
а) 
Ответ: – 0,5 ≤ х ≤ 0,5
б) 
х (0) = 1, y (0) = 2
Ответ: – 0,1 ≤ х ≤ 0,1
3. Найти решение уравнения:
а) 
Ответ: 
б) 
Ответ: y = C1cos x + C2sin x + (2 x – 2) ex
в) 
Ответ: 
4. Исследовать на устойчивость по первому приближению тривиальное решение системы:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Раздел «Уравнения с частными производными»
1. Решить задачу
2. Решить задачу
3. Решить задачу
4. Решить задачу
5. Решить задачу
Раздел «Теория вероятностей»
1. В каждой из трех урн находится по 6 белых и 4 черных шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым
2. Стержень ломается случайным образом на две части. Каково среднее отношение длины короткого куска к длине длинного куска?
Раздел «Методы оптимизации»
1. Найти все базисные планы. Решить задачу симплекс-методом.
а) 
б) 
Ответ: базисные планы - Ответ: базисные планы –
(0; 0; 0; 1), (1; 0; 1; 0) (1; 1; 0) и (2; 0; 3)
и (0; ¼; ¼; 0)
2. Найти все стационарные точки:
Ответ: (
), (0; 
1); ( 1; 0)
3. Решить задачи:
а) 
б) 
Ответ: (1; 1; 1) Ответ: 
Раздел «Численные методы»
1. Для функции f (x) = x 3 – 3 x 2 + 4 x – 5 вычислить f ´(0) по симметричной формуле численного дифференцирования при h = 0.01.
2. Для функции f (x) = x 3 – 3 x 2 + 4 x – 5 вычислить f ″(0) по симметричной формуле численного дифференцирования при h = 0.01.
3. Доказать, что трехчленная симметричная формула численного дифференцирования для f ″(x о) имеет порядок погрешности О (h 2 ), если функция f (x) имеет ограниченную четвертую производную.
4. Найти правые части системы дифференциальных уравнений
так, чтобы траектория (x (t), y (t)) c x (0) = 0, y (0) = 0 была развертывающейся
спиралью.
Раздел «Компьютерные науки»
1. Описать алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел (рекурсивный и итеративный варианты).
2. Описать процедуру обмена значениями двух переменных.
3. Имеется список имен: Alice, Byron, Carol, Diane, Elaine, Floyd, Gene, Henry, Iris. Какой алгоритм поиска (последовательный или бинарный): а) позволит найти быстрее имя Gene? б) позволит быстрее обнаружить отсутствие имени Bruce?
4. Предположим, что при использовании алгоритма сортировки методом вставки компьютеру требуется в среднем одна секунда для сортировки списка из 100 элементов. Оцените, сколько времени компьютеру понадобится для сортировки списка из 1000 элементов?
5. Докажите полноту следующих классов булевых функций:
а) { | } (| - штрих Шеффера);
б) { ↓ } (↓ - стрелка Пирса);
в) { 0,→ };
г) { 1, ×, +} (+ - сложение mod 2).
6. Докажите, что простой граф с n вершинами, степень каждой из которых не
менее 
, является связным.
7. Пусть G = (V, E) – простой граф. Дополнением графа G называют простой граф
такой, что вершины являются смежными тогда и только тогда, когда они
не смежны в G. Докажите, что один из графов G и является связным.
8. Пусть G = (V, E) – простой граф. Дополнением графа G называют простой граф
такой, что вершины являются смежными тогда и только тогда, когда они
не смежны в G. Граф называется самодополнительным, если он изоморфен
своему дополнению. Докажите, что число вершин самодополнительного графа
представляется либо в виде 4 k, либо в виде 4 k + 1.
Литература
Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 62 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Теория вероятностей и математическая статистика | | | Детские сухие бассейны |