Примеры решения

Задача 1. Найти несущую способность растянутого элемента. Исходные данные: h = 200мм;b = 150мм; а=120мм; с=300мм; d=16мм; материал - лиственница; сорт древесины 1; условия эксплуатации 2 (нормальные).

Рис. 1

Решение. Несущую способность элемента при заданных условиях задачи вычисляем по формуле

N = т ₀ т _п т _в R _р F_нт

где т ₀ - коэффициент, учитывающий наличие ослаблений, равен 0,8;

т _п- коэффициент перехода на породу дерева, для лиственницы равен 1,2 [1, табл. 5];

т _в- коэффициент, учитывающий условия эксплуатации (группу конструкций), равен 0.9 [1, табл.7];

m _т - коэффициент, учитывающий установившуюся температуру воздуха до +35 °С, равен 1;

R_р - расчетное сопротивление древесины (сосны, ели), по [1, табл. 3 п. 2.а] равно 10 МПа.

Для вычисления F_нтвыбираем самый опасный участок, где на расстоянии 200 мм имеет место наибольшая площадь ослаблений (не попадающих при перемещении вдоль волокон одно на другое). Такой участок будет на участке с отверстиями 1, 2 и 3.

F_нт= bh - 3db = 20•15 - 3•1.6•15 = 228 см².

Несущая способность растянутого элемента N = 0.8•1.2•0.9•10•0.0228 = 0.197 МН = 197.0 кН.

Задача 2. Найти несущую способность центрально-сжатого стержня

Исходные данные: h = 200мм;b = 150мм; а=150мм; ℓ =3000мм; d=55мм; материал - пихта; сорт древесины 2; условия эксплуатации 3; условия закрепленияконцов стержня в плоскостях х-х и у – у: шарнирное (Ш-Ш).

Рис. 2.

Решение. Несущая способность центрально-сжатого стержня с учетом его устойчивости подсчитывается по формуле

N =φ т_п т_в R_с F_рас

где т _п= 0,8 [1, т.5]; т _в= 0,85 [1, т.7]; R_с = 13 МПа (для сосны второго сорта).

Поскольку сечение ослаблено отверстием d = 55 мм, площадь ослабления равна F_осл=d*b = 5.5*15 = =82.5см², что составляет 100%*82.5 /( 20*15) =27,5% >25%.

Расчетная площадь сечения при проверке устойчивости составит:

F_расч = (4/3) F_нт = (4/3)(300-82.5) = 290 см².

Для определения коэффициента φ подсчитаем гибкость элемента:

По 6.23 μ_о = 1 (шарнирное опирание торцов стойки); радиус инерции r = 0.289 h (h – высота сечения в рассматриваемой плоскости x-x или y-y); тогда:

λ_х = μ_оℓ/0,289 b = 1,0•300/0,289•15 = 69,2; λ_у = μ_оℓ/0,289 h = 1,0•300/0,289•20 = 51,9.

Расчет ведем на большую гибкость λ_х = 69,2

Для гибкости λ<70 определяем коэффициент φ по формуле (7):

φ ═ 1-0,8(λ/100)² ═ 1-0,8(69,2/100) ²=0,617

Несущая способность стержня N = 0,617•0,0290•0,8•0,85•13= 0,1582 мН = 158,2кН.

Задача 3. Проверить несущую способность центрально-сжатого стержня. Исходные данные: N = 100Кн; h = 225мм;b = 150мм; с=20мм; ℓ =4000мм; материал - сосна; сорт древесины 2; условия эксплуатации 1, условия закрепленияконцов стержня в плоскости х-х: защемление и шарнирное опирание (З-Ш); в плоскости у – у: шарнирное опирание (Ш-Ш).

Рис. 3.

Решение. Проверка несущей способности центрально-сжатого стержня производится по формуле

N =φ т _п т _в R_с F_рас

Для рассматриваемого варианта т _п= 1,0; т _в= 1,0; R_с = 13 MПа. Сечение имеет симметричное ослаб-ление, выходящее на кромку сечения. Для такого стержня F_рас = F_нт=(15*22,5) – (2+2)*15 = 277.5 см²

Гибкость стержня в плоскости х-х: защемление и шарнирное опирание (З-Ш) μ_о = 0.8; в плоскости у – у: шарнирное опирание (Ш-Ш) μ_о = 1.

λ_х = μ_оℓ/0,289 h = 0.8•400/0.289•22.5 = 49.2; λ_у = μ_оℓ/0,289 b = 1.0•400/0.289•15 = 92.3

Наибольшая гибкость λ_у = 92.3 > 70, для нее коэффициент продольного изгиба по (8):

φ ═ 3000/ λ² ═ 3000/92.3² = 0.352

Проверка несущей способности стержня:

N = 100 кН < φ т _п т _в R_с F_расч = 0,352•0,02775•1,0•1,0•13000 = 126,98 кН > N = 100Кн.

Вывод: несущая способность стержня достаточна.

ИЗГИБАЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Задача 4. Проверить прочность и прогибы балки прогона цельного прямоугольного сечения (балка с двумя консолями). Исходные данные: нагрузка: q^н = 10Кн/м (II группа предельных состояний), q = 10*1.15 = 11.5Кн/м (I группа предельных состояний, γ_f=1,15 – усредненный коэффициент перехода к расчетам по I-му предельному состоянию.); пролеты: а = 1000мм; ℓ=4000мм; сечение:b=150мм, h = 225мм; материал - сосна; сорт древесины 1; условия эксплуатации 2 (нормальные).

Рис 4.

Решение. Предварительно находятся величины моментов и поперечных сил:

Нормативные: М^н_пр = q (ℓ²/4-а²) /2 = 10*(4²/4-1²) /2 = 15кНм; М^н_оп = q а²/2 = 10*1²/2 = 5кНм.

Расчетные: М_пр = 11.5 (4²/4-1²) /2 = 17.2кНм; М_оп = 11.5*1²/2 = 5.75кНм;

Q_пр = 11.5*4/2 = 23кН; Q_оп = 11.5*1 = 11.5кН.

Прочностные характеристики:

R_и - расчетное сопротивление древесины на изгиб, по [1, табл. 3 п. 2.в] равно 16 МПа.

R_ск - расчетное сопротивление древесины на скалывание, по [1, табл. 3 п. 5.а] равно 1.8 МПа.

Поправочные коэффициенты:

т ₀ - коэффициент, учитывающий наличие ослаблений, равен 1.0 (ослаблений нет);

т _п- коэффициент перехода на породу дерева, для сосны равен 1.0 [1, табл. 3];

т _в- коэффициент, учитывающий условия эксплуатации (группу конструкций), равен 0.9 [1, табл.7];

m _т - коэффициент, учитывающий установившуюся температуру воздуха до +35 °С, равен 1;

Геометрические характеристики сечения:

W_нт = bh²/6 = 15•22.5²/6 = 1265,6 см²;

S= bh²/8 =15•22,5²/8 = 949 см²;

J = bh³/12 =15•22,5³/12 = 14238 см².

Проверка прочности (I группа предельных состояний):

Ϭ ═ М/W_нт =17.2*10³/1265,6 = 13,6 МПа < R_и* т _в = 16*0.9 = 14.4 МПа;

τ ═ QS/Jb =23*10*949 /14238*15 = 1.02 МПа < R_ск* т _в = 1,8*0.9 = 1.62 МПа.

Прочность обеспечена.

Полный прогиб (II группа предельных состояний):

f_о= qа(ℓ³ – 6а²ℓ-3а³)/(24ЕJ) = 10•1•10 (4³- 6•1²•4 - 3•1³)/(24•10⁵•14238) = 1.08 см;

где Е = 10⁴ МПа = 10⁵ кгс/см² [1, п. 5.3 – модуль упругости древесины вдоль волокон].

Предельный прогиб f_пр = qℓ²(5/8ℓ² -3а³)/48ЕJ = 10•4² •10⁵(5/8 •4² - 3•1³)/48•10⁵•14238,28 =1,64 см;

Проверка прогибов: f/ℓ = 1,64/400 = 1/244 < [1/200]

Прогиб балки не превышает предельного [1, табл.19].

Задача 5. Из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения балки. Исходные данные: q = 13 кН/м; а=1100мм; ℓ =4500мм; материал - ясень; сорт древесины 2; условия эксплуатации 2. Сечения принимать согласно сортаменту пиломатериалов.

Рис 4.

Решение.

Прочностные характеристики:

R_и - расчетное сопротивление древесины на изгиб, по [1, табл. 3 п. 2.в] равно 15 МПа.

R_ск - расчетное сопротивление древесины на скалывание, по [1, табл. 3 п. 5.а] равно 1.6 МПа.

Поправочные коэффициенты:

т ₀ - коэффициент, учитывающий наличие ослаблений, равен 1.0 (ослаблений нет);

т _п- коэффициент перехода на породу дерева, для ясеня равен 1.3 (скалывание – 1.6) [1, табл. 5];

т _в- коэффициент, учитывающий условия эксплуатации (группу конструкций), равен 0.9 [1, табл.7];

m _т - коэффициент, учитывающий установившуюся температуру воздуха до +35 °С, равен 1;

Предварительно находятся величины:

М_пр = q/2(ℓ²/4-а²) = 13/2(4,5²-1,1²) = 25,04 кНм;

М_оп = q а²/2 = 13•1,1²/2 = 7,865 кНм;

Q_пр = qℓ/2= 13•4,5/2 = 29.25кН;

Q_оп = qа= 13•1,1 =14.3кН;

Находится требуемый момент сопротивления:

W_тр ═ М/ (R_и* m_п* m_в) = 25,04*10⁴/15*1,3*0.9*10 = 1426,8 см²;

Задаемся шириной сечения b = 15 см. Тогда требуемая высота сечения

h_тр = √ (6W/ b) = √ (6•1426.8/15) = 23.89 см ≈ 25 см.

Принимаем сечение = 15 * 25 см (см. сортамент пиломатериалов).

Момент сопротивления принятого сечения W = bh²/6 = 15•25²/6 = 1562,5 см³.

Проверка прочности: Ϭ ═ М/W=25,04•10³/1562.5 = 16,03 МПа < R_и т _п = 13•1,3 = 16,9 МПа;

τ ═ QS/Jb = 1,5Q/bh (для прямоугольного сечения),

где Q - максимальная поперечная сила,

τ = 1.5*29,25*10/15*25 = 1,17 МПа < R_ск т _п = 1,6•1,6 = 2,56 МПа;

Прочность обеспечена.

Дата добавления: 2015-08-10