Пример 2. Докажем, что при всех натуральных n выражение А(n) = n(n2 + 5) без остатка делится на 6.

Пример 1

Докажем, что при всех натуральных n выражение А(n) = n(n² + 5) без остатка делится на 6.

Используем приведенную схему доказательства:

1. При n = 1 выражение А(1) = 1 · (1² + 5) = 6 и делится на 6.

2. Предположим, что при n = k выражение А(k) = k(k² + 5) = k³ + 5k делится без остатка на 6, т. е. k³ + 5k = 6р (где р - натуральное число).

3. При n = k + 1 получаем выражение А(k +1) = (k + 1)³ + 5(k + 1) = k³ + 3k² + 8k+ 6. Выделим в этом выражении часть, которая согласно пункту 2 делится на 6: А(k + 1) = (k³ + 5k) + (3k² + 3k + 6) = 6р + (3k² + 3k + 6). Нужно доказать, что выражение 3k² + 3k + 6 делится на 6. Для этого достаточно, чтобы выражение 3k² + 3k = 3k(k + 1) делилось на 6 или k(k + 1) делилось на 2. Но величина k(k + 1) является произведением двух соседних натуральных чисел k и k + 1. Разумеется, одно из них будет четным.

Пример 2

Докажем, что при любом натуральном n и выражение А(n) = 4ⁿ + 15n - 1 кратно 9.

Используем стандартную схему доказательства:

1. При n = 1 выражение A(1) = 4¹ + 15 · 1 - 1 = 18 кратно 9.

2. Предположим, что при n = k выражение А(k) = 4^k + 15k - 1 кратно 9, т. е. 4^k + 15k - 1 = 9р (где р - натуральное число).

3. При n = k + 1 надо доказать, что выражение А(k +1) = 4^k+1 + 15(k + 1) - 1 делится на 9. Для доказательства можно использовать два способа.

1-й способ. Поступим, как и в примере 1, т. е. выделим в выражении А(k + 1) часть А(k), которая делится на 9. Для этого преобразуем выражение А(k + 1) к виду А(k +1) = 4^k+1 + 15k + 14 = 4(4^k + 15k - 1) – 45k + 18 = 4 А(k) + 9(2 – 5k).

Видно, что выражение А(k + 1) является суммой двух слагаемых, каждое из которых делится на 9.

Сложность этого способа состоит в умении в выражении А(k + 1) выделить часть А(k), т. е. догадаться до преобразования 4^k+1 + 15k + 14 = 4(4^k + 15k - 1) – 45k + 18.

Поэтому рассмотрим другой способ, лишенный такого недостатка.

2-й способ. Из выражения 4^k + 15k - 1 = 9р (пункт 2) найдем 4^k = 9р + 1 – 15k и подставим в выражение А(k +1) = 4^k+1 + 15k + 14 = 4(9p + 1 – 15k) + 15k + 14 = 36p + 18 – 45k. Видно, что выражение A(k + 1) состоит из трех слагаемых, каждое из которых делится на. 9.

Связь между пунктами 2 и 3 была обеспечена за счет того, что в пункте 2 была найдена величина 4k и подставлена в выражение пункта 3.

Упражнения:

1. Докажите, что при четных неотрицательных числах n выражение А(n) = 5²ⁿ⁺¹ +3ⁿ⁺¹ кратно 8.

2. Докажите, что при любом натуральном n сумма дробей 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) +…+1/(n*(n+1)) равна 1/(n+1)

Также мми часто исползуют для доказательства неравенств. Рассмотрим такой вариант применения на примере неравенства Бернулли:

Дата добавления: 2015-07-25