Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Минск, 2012

Кафедра физико-математических дисциплин

Расчётная работа

«Закон Максвелла распределения молекул по скоростям»

Вариант № 29

Выполнил студент группы

№ 180512 Шпак А.В.

Проверил преподаватель

Профессор Синяков Г.Н.

Минск, 2012

Цель работы. Анализ функции распределения молекул по скоростям в зависимости от температуры и молярной массы газа.

Теория

При изучении газов принята основная модель –модель идеального газа как большого коллектива невзаимодействующих частиц, непрерывно участвующих в беспорядочном тепловом движении. К этому коллективу частиц применим статический метод, базирующийся на математической теории вероятностей, на понятиях о средних, среднеквадратичных и наиболее вероятных параметров, характеризующих поведение частиц в коллективе.

Рассмотрим распределение Максвелла или распределение молекул по скоростям.

Скорости молекул газа имеют различные значения и направления, причем как величина, так и направление скорости каждой отдельной молекулы изменяются в результате соударений, поэтому нельзя определить число молекул, обладающих точно заданной скоростью в данный момент времени, но можно подсчитать число молекул, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2.

При этом предполагалось, что в газе не существует молекул, имеющих в точности одинаковые скорости, и число молекул d N, скорость которых лежит в узком интервале между v и v + d v, пропорционально общему числу молекул N, ширине интервала d v и зависит от скорости v. Такая теоретическая зависимость была установлена Максвеллом на основании теории вероятностей:

 

d N(v) = 4π (1)

Функцию

 

f (v) = = (2)

показывающую относительное число молекул, скорость которых лежит в интервале скоростей, называют функцией распределения молекул. В этой формуле: m - масса молекул, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура. Используя соотношение между постоянной Больцмана k и универсальной газовой постоянной R=kNA, формулу (2) можно переписать в виде:

 

f (v) = 4π (3)

где M – молярная масса газа. Эта функция удовлетворяет условию нормировки:

(3*)

Максимум кривой распределения соответствует наиболее вероятной скорости молекул v B, которую можно найти, исследовав на максимум функцию f (v). Беря производную от функции (2) по скорости и приравнивая ее нулю, получаем

= const =0, =0

откуда

= , (4)

 

Вид функции распределения f (v) зависит от рода газа (массы молекул) и температуры Т. Давление и объем газа на распределение молекул по скоростям не влияют.

При повышении температуры (T2>T1) v B, возрастает, поэтому максимумы кривой распределения молекул по скоростям сдвигаются в сторону больших скоростей (v2>v1); следовательно, с ростом температуры возрастает относительное число молекул, обладающих большой скоростью. Площади, ограниченные кривыми распределения при любых температурах, должны быть равны между собой, так как их величина пропорциональна общему числу молекул, которое в обоих случаях сохраняются неизменным.

Большинство молекул газа движется с наиболее вероятной скоростью, тогда как число молекул, имеющих очень малые и очень большие скорости, мало. Кроме наиболее вероятной скорости движение молекул газа характеризует:

· средняя арифметическая скорость , определяемая формулой .

Для дискретных значений v из общего определения средней арифметической скорости имеем

=

[ N - число частиц. имеющих скорость vi ].

В случае непрерывного спектра значений скорости

.

Однако полное число частиц N = ; следовательно,

= .

Подставляя в (4) f (v) и интегрируя полученное выражение, находим

= , (5)

· средняя квадратичная скорость

= , (6)

равна корню квадратному из среднего арифметического значения квадратов скоростей.

если все молекулы одинаковы по массе, то

v B < < .

Функцию распределения по скоростям можно записать в другом виде, введя понятие относительной скорости . Проведя математические преобразования формулы (2), получим выражение

, (7)

где - доля молекул, обладающих относительными скоростями в интервале от U до U + ΔU, ΔU =

Порядок выполнения работы

Функция распределения рассчитана с помощью математического метода MathCad. Исследуемые соединения и их характеристики представлены в Таблице 1.

Таблица 1

  Соединение Химическая формула Молярная масса (10-3кг/моль) Пределы изменения температуры (для пункта 2)
  гелий He   273-450
  метан CH3   300-500
  кислород O2   220-400
  пары воды H2 O   373-500
  неон Ne   273-500
  пары метанола CH3OH   370-500
  углекислый газ CO2   263-450
  этан C2H5   300-500
  азот N2   273-400
  воздух     220-450
  закись азота N2 O   283-500
  аргон Ar   300-500
  бутан C3H8   250-450
  пары этанола C2H5 OH   363-400
  сернистый газ SO2   250-500
  хлор Cl2   273-400
  пары диэтилового эфира C2H5 O C2H5   365-450
  ксенон Xe   300-500
  пары йода I2   323-520

 

Каждый студент, выполняющий работу, рассчитывает характеристики определённого набора соединений. Номера соединений указаны в Таблице 2. Номер варианта соответствует порядковому номеру фамилии студента в списке группы.

Таблица 2.

№ варианта Соеденения № варианта Соеденения
  1 6 9 11 16 18   9 10 11 14 18 19
  2 7 8 12 17 14   5 11 14 15 16 17
  3 8 13 18 15 5   2 4 7 10 18 19
  4 9 14 19 1 11   3 8 9 15 2 14
  5 10 15 18 2 12   1 3 4 6 12 18
  3 1 5 7 9 11   4 8 9 12 16 18
  2 4 6 13 15 17   6 7 11 12 13 14
  5 7 9 11 16 18   3 8 11 15 16 12
  4 8 12 18 16 5   2 6 12 13 15 16
  3 9 12 15 13 7   3 7 8 10 13 19
  5 7 11 16 15 9   1 8 9 11 15 16
  10 2 3 4 5 11   2 7 8 15 16 17
  3 4 6 8 15 18   3 6 7 10 11 18
  5 9 14 17 1 14   4 7 10 12 15 16
  1 3 7 12 13 19   5 9 11 13 17 19
  5 6 9 13 17 18   1 2 7 10 11 12

 


Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 70 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Барометрическая формула. Распределение Больцмана| Physical

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)