Кафедра физико-математических дисциплин
Расчётная работа
«Закон Максвелла распределения молекул по скоростям»
Вариант № 29
Выполнил студент группы
№ 180512 Шпак А.В.
Проверил преподаватель
Профессор Синяков Г.Н.
Минск, 2012
Цель работы. Анализ функции распределения молекул по скоростям в зависимости от температуры и молярной массы газа.
Теория
При изучении газов принята основная модель –модель идеального газа как большого коллектива невзаимодействующих частиц, непрерывно участвующих в беспорядочном тепловом движении. К этому коллективу частиц применим статический метод, базирующийся на математической теории вероятностей, на понятиях о средних, среднеквадратичных и наиболее вероятных параметров, характеризующих поведение частиц в коллективе.
Рассмотрим распределение Максвелла или распределение молекул по скоростям.
Скорости молекул газа имеют различные значения и направления, причем как величина, так и направление скорости каждой отдельной молекулы изменяются в результате соударений, поэтому нельзя определить число молекул, обладающих точно заданной скоростью в данный момент времени, но можно подсчитать число молекул, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2.
При этом предполагалось, что в газе не существует молекул, имеющих в точности одинаковые скорости, и число молекул d N, скорость которых лежит в узком интервале между v и v + d v, пропорционально общему числу молекул N, ширине интервала d v и зависит от скорости v. Такая теоретическая зависимость была установлена Максвеллом на основании теории вероятностей:
d N(v) = 4π 
(1)
Функцию
f (v) = 
= 4π 
(2)
показывающую относительное число молекул, скорость которых лежит в интервале скоростей, называют функцией распределения молекул. В этой формуле: m - масса молекул, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура. Используя соотношение между постоянной Больцмана k и универсальной газовой постоянной R=kNA, формулу (2) можно переписать в виде:
f (v) = 4π 
(3)
где M – молярная масса газа. Эта функция удовлетворяет условию нормировки:
(3*)
Максимум кривой распределения соответствует наиболее вероятной скорости молекул v B, которую можно найти, исследовав на максимум функцию f (v). Беря производную от функции (2) по скорости и приравнивая ее нулю, получаем
= const 
=0, 
=0
откуда
= 
, (4)
Вид функции распределения f (v) зависит от рода газа (массы молекул) и температуры Т. Давление и объем газа на распределение молекул по скоростям не влияют.
При повышении температуры (T2>T1) v B, возрастает, поэтому максимумы кривой распределения молекул по скоростям сдвигаются в сторону больших скоростей (v2>v1); следовательно, с ростом температуры возрастает относительное число молекул, обладающих большой скоростью. Площади, ограниченные кривыми распределения при любых температурах, должны быть равны между собой, так как их величина пропорциональна общему числу молекул, которое в обоих случаях сохраняются неизменным.
Большинство молекул газа движется с наиболее вероятной скоростью, тогда как число молекул, имеющих очень малые и очень большие скорости, мало. Кроме наиболее вероятной скорости движение молекул газа характеризует:
· средняя арифметическая скорость 
, определяемая формулой 
.
Для дискретных значений v из общего определения средней арифметической скорости имеем
= 
[ N - число частиц. имеющих скорость vi ].
В случае непрерывного спектра значений скорости
.
Однако полное число частиц N = 
; следовательно,
= 
.
Подставляя в (4) f (v) и интегрируя полученное выражение, находим
= 
, (5)
· средняя квадратичная скорость
= 
, (6)
равна корню квадратному из среднего арифметического значения квадратов скоростей.
если все молекулы одинаковы по массе, то
v B < < .
Функцию распределения по скоростям можно записать в другом виде, введя понятие относительной скорости 
. Проведя математические преобразования формулы (2), получим выражение
, (7)
где 
- доля молекул, обладающих относительными скоростями в интервале от U до U + ΔU, ΔU = 
Порядок выполнения работы
Функция распределения рассчитана с помощью математического метода MathCad. Исследуемые соединения и их характеристики представлены в Таблице 1.
Таблица 1
| № | Соединение | Химическая формула | Молярная масса (10-3кг/моль) | Пределы изменения температуры (для пункта 2) |
| гелий | He | 273-450 | ||
| метан | CH3 | 300-500 | ||
| кислород | O2 | 220-400 | ||
| пары воды | H2 O | 373-500 | ||
| неон | Ne | 273-500 | ||
| пары метанола | CH3OH | 370-500 | ||
| углекислый газ | CO2 | 263-450 | ||
| этан | C2H5 | 300-500 | ||
| азот | N2 | 273-400 | ||
| воздух | 220-450 | |||
| закись азота | N2 O | 283-500 | ||
| аргон | Ar | 300-500 | ||
| бутан | C3H8 | 250-450 | ||
| пары этанола | C2H5 OH | 363-400 | ||
| сернистый газ | SO2 | 250-500 | ||
| хлор | Cl2 | 273-400 | ||
| пары диэтилового эфира | C2H5 O C2H5 | 365-450 | ||
| ксенон | Xe | 300-500 | ||
| пары йода | I2 | 323-520 |
Каждый студент, выполняющий работу, рассчитывает характеристики определённого набора соединений. Номера соединений указаны в Таблице 2. Номер варианта соответствует порядковому номеру фамилии студента в списке группы.
Таблица 2.
| № варианта | Соеденения | № варианта | Соеденения |
| 1 6 9 11 16 18 | 9 10 11 14 18 19 | ||
| 2 7 8 12 17 14 | 5 11 14 15 16 17 | ||
| 3 8 13 18 15 5 | 2 4 7 10 18 19 | ||
| 4 9 14 19 1 11 | 3 8 9 15 2 14 | ||
| 5 10 15 18 2 12 | 1 3 4 6 12 18 | ||
| 3 1 5 7 9 11 | 4 8 9 12 16 18 | ||
| 2 4 6 13 15 17 | 6 7 11 12 13 14 | ||
| 5 7 9 11 16 18 | 3 8 11 15 16 12 | ||
| 4 8 12 18 16 5 | 2 6 12 13 15 16 | ||
| 3 9 12 15 13 7 | 3 7 8 10 13 19 | ||
| 5 7 11 16 15 9 | 1 8 9 11 15 16 | ||
| 10 2 3 4 5 11 | 2 7 8 15 16 17 | ||
| 3 4 6 8 15 18 | 3 6 7 10 11 18 | ||
| 5 9 14 17 1 14 | 4 7 10 12 15 16 | ||
| 1 3 7 12 13 19 | 5 9 11 13 17 19 | ||
| 5 6 9 13 17 18 | 1 2 7 10 11 12 |
Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 70 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Барометрическая формула. Распределение Больцмана | | | Physical |