Программа 1

При записи результата решения задачи – уравнения аппроксимирующей функции – параметры записывают с погрешностями. В погрешностях указывают, как правило, 2 значащие цифры, в соответствии с которыми и округляют значения параметров. В программе 1 использованы 3 метода расчета параметров для того, чтобы показать, что все они дают одинаковые результаты. При использовании линейной регрессии для реальных расчетов при обработке экспериментальных данных достаточно одного метода. В некоторых случаях погрешности параметров не требуется рассчитывать, а достаточно лишь рассчитать коэффициент корреляции для проверки линейной зависимости. Часто получение уравнения прямой не является конечным результатом расчета, а полученные параметры используются для дальнейших расчетов.

1.1. Приложение линейной регрессии. Для примера приведем программу расчетов в лабораторной работе по физической химии «Зависимость давления насыщенного пара жидкости от температуры» [5]. В этой работе экспериментально получают зависимость давления насыщенного (P) от температуры (Т). После интегрирования уравнения Клапейрона–Клаузиуса в форме

(11)

в предположении, что величина Δ Н_П – теплота парообразования не зависит от температуры, можно получить линейное уравнение:

, (12)

где R – универсальная газовая постоянная; Т_кип –температура кипения жидкости при нормальном атмосферном давлении Р₀ = 760 мм ртутного столба.

Очевидно, что в уравнении (12) отсекаемый отрезок прямой на оси ординат и тангенс угла наклона прямой с осью абсцисс соответственно равны:

(13)

С другой стороны величины a и b могут быть найдены из экспериментальных данных из линейной регрессии зависимости ln P=f(1/T). По известным значениям a и b находят величины

(14)

где Δ S_П – изменение энтропии в процессе парообразования при температуре кипения исследуемой жидкости. Для многих жидкостей величина Δ S_П @ 88 ± 4 Дж/(моль×K) (константа Трутона). По найденным значениям можно построить кривую зависимости P = f(T). Из уравнения (12) следует, что

. (15)

Пример обработки экспериментальных данных и расчетов по уравнениям (12-14) приведен в программе 2. Из результатов расчета видно, что график зависимости lnP от 1/T линейный, коэффициент корреляции (по абсолютной величине) близок к единице. Отрицательное значение коэффициента корреляции наблюдается тогда, когда значение тангенса угла наклона прямой к оси абсцисс имеет отрицательное значение. Значение Δ S_П близко к значению константы Трутона.

Программа 2

2. Аппроксимация с помощью полинома. В этом случае функция Y(x) принимает следующий вид:

Y(x) = c₁ + c₂x + c₃x² + c₄x³ +...+ c_kx^k-1 (16)

Степень полинома (k- 1) может быть любой, меньшей количеству узлов. Если k =2, то степень полинома равна единице, что соответствует линейной зависимости, рассмотренной выше, т. е. линейная аппроксимация является частным случаем полиноминальной. Обычно чем выше степень полинома, тем ближе аппроксимирующая проходит кривая к экспериментальным точкам (узлам). Однако при приближении степени полинома к количеству узлов может наблюдаться (особенно для реальных экспериментальных данных, имеющих погрешности) сильное искажение аппроксимирующей кривой – она начинает осциллировать между данными, а уравнение становиться непригодным для предсказания значений функции в промежуточных точках. Поэтому степень полинома больше 7 практически никогда не используется.

В соответствии с уравнением (2)

y₁(x)=1; y₂(x) =x; y₃(x)=x²; … y_k(x)=x^k-1

Подставив эти функции в уравнение (5) получим систему из k уравнений:

(17)

в котором

Используя матричные операции нетрудно получить решение методом обращения матрицы в MathCad (программа 3). В первых строках вводятся данные и степень полинома. Если Вы захотите аппроксимировать свои данные, то изменяйте только эти данные, остальное выводится автоматически. Интересно проследить за погрешностями аппроксимации, изменяя степень полинома. С увеличением степени полинома аппроксимирующая кривая все ближе к узлам (невязки и сумма квадратов отклонений уменьшается). А нет ли скачков в промежуточных точках? (проверьте построением графика).

Задачу аппроксимации можно решить немного другим способом на МathCad, используя функцию regress (программа 4). Этот метод не дает в явном виде уравнения полинома, однако построить аппроксимирующую кривую и рассчитать значения функции в узлах (YY) и произвольных промежуточных точках (A(t)) можно. Результаты расчета, как видно из текста программы, методом обращения матрицы и с помощью встроенной функции MathCad одинаковы.

В программе 3 дан пример расчета погрешностей вычисляемых параметров для полиноминальной регрессии. Для выбора степени полинома или вообще при выборе аппроксимирующей функции часто пользуются критерием минимума суммы квадратов отклонений, но лучше использовать величину дисперсии адекватности, s и ее минимум также может быть использован для подбора оптимальной степени полинома.

При сравнении результатов расчета программ 3 и 4 можно сделать вывод о том, что оба метода дают практически совпадающие результаты (сравните невязки, сумму квадратов отклонений и дисперсию адекватности). Однако программа 3 имеет дополнительные возможности для адекватного выбора степени полинома. Можно посоветовать следующий порядок анализа данных с помощью этой программы для получения оптимального значения степени полинома:

1. После введения исходных данных выберите минимальную степень полинома m =1 (линейная зависимость);

2. Посмотрите на график – он должен быть линейным и проходить между точками.

3. Запишите найденные параметры С _j и их погрешности s_j. Запишите дисперсию адекватности. Сохраните программу с подходящим именем (с указанием степени полинома в имени).

4. Увеличьте степень полинома на единицу. Это увеличение считайте удачной (успешной) попыткой, если

· график проходит между точками,

· дисперсия адекватности уменьшается,

· погрешности в параметрах уменьшаются;

в противном случае попытка считается неудачной.

5. Если увеличение степени полинома оказалось успешным, то переходите на пункт 3.

Если увеличение степени полинома оказалось безуспешным, то запишите найденные параметры С _j и их погрешности s_j. Запишите дисперсию адекватности. Программу не сохраняйте.

Программа 3

Программа 4

Контрольные вопросы к главе 1

1. Что означает термин аппроксимации в математике?

2. Сформулируйте задачу аппроксимации функции. В чем ее отличие от аппроксимации экспериментальных данных функцией?

3. Приведите пример сеточной функции. Какими способами ее можно получить?

4. Что такое аппроксимирующая функция?

5. Что называют узлами сеточной функции?

6. Какими критериями можно пользоваться для отыскания аппроксимирующей функции?

7. Какое принципиальное различие между аппроксимацией и интерполяцией?

8. В чем разница между глобальной и локальной интерполяцией?

9. В чем заключается задача регрессии?

10. Что называют экстраполяцией?

11. К чему сводится задача аппроксимации табличных данных, если в качестве аппроксимирующей функции выбрать линейную комбинацию из k независимых функций?

12. Каким образом задачу аппроксимации можно свести к задаче решения системы линейных уравнений?

13. Вспомните, какие методы можно использовать при решении системы линейных уравнений?

14. Каким свойством обладает обращенная матрица?

15. Решение СЛАУ методом обращения матрицы является итерационным или точным методом?

16. Как можно вычислить дисперсию адекватности и погрешности определения параметров аппроксимирующей функции?

17. Как зависят искомые погрешности искомых параметров от числа степеней свободы?

18. Как получить систему линейных уравнений, если в качестве аппроксимирующей функции взять линейную функцию?

19. Какими методами получают параметры линейной регрессии?

20. Какие графические и математические интерпретации имеют параметры линейной регрессии?

21. Какие физико-химические данные можно рассчитать с помощью обработки линейной зависимости lnP=f(1/T)?

22. Как получены точки и линии на графиках зависимости программы 2?

23. Как получить систему линейных уравнений, если в качестве аппроксимирующей функции взять полином?

24. Какие степени полинома в задачах аппроксимации экспериментальных данных обычно применяются? Почему?

25. Как выбрать оптимальную степень полинома? Какими критериями при этом можно воспользоваться?

Расчетная многовариантная задача № 1

По данным таблицы 2 [X,Y]:

а) рассчитайте постоянные линейной зависимости y=a+bx и их абсолютные погрешности, вычислить коэффициент корреляции;

б) выполните расчеты по данным зависимости давления насыщенного пара от температуры, P=f(T), полученным в лабораторном практикуме по физической химии.

в) выполните аппроксимацию данных полиномом методом обращения матрицы параметров, выберите оптимальную степень полинома по критерию минимума дисперсии адекватности;

г) выполните аппроксимацию данных полиномом, используя функцию regress в MathCad, выберите оптимальную степень полинома по критерию дисперсии адекватности.

Таблица 2

№ вар.	Данные
1.	Х
Y	1.12	2.35	3.56	4.67	5.55	6.45	7.87	8.92	9.35	10.43
2.	Х
Y	0.11	1.25	2.36	3.56	4.45	5.32	6.77	7.82	8.45	9.63
3.	Х
Y	11.1	9.92	8.84	7.77	5.65	4.55	3.47	2.32	1.25	0.13
4.	Х
Y	2.12	2.35	2.56	2.67	3.55	3.95	4.17	4.92	5.35	6.43
5.	Х
Y	3.12	4.35	3.56	3.63	3.85	4.15	4.37	4.62	4.95	5.04
6.	Х
Y	1.13	2.15	3.26	4.37	5.45	6.55	7.67	8.72	9.85	10.93
7.	Х	1.0	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	2.0
Y	1.10	2.15	3.36	4.67	3.55	3.45	3.17	2.92	2.35	2.14
8.	Х
Y	0.12	0.18	0.28	0.48	0.69	0.78	0.92	0.95	0.98	0.99
9.	Х	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.6	2.7	2.8	2.9	3.0
Y	6.12	6.35	7.56	8.67	9.55	12.4	15.8	13.9	12.3	10.4
10.	Х
Y	1.23	2.35	3.43	4.27	5.35	6.75	7.87	8.42	9.35	10.4
11.	Х
Y	10.1	9.35	8.56	7.67	6.55	5.45	4.87	3.92	2.35	1.43
12.	Х	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	5.0
Y	1.1	2.3	3.5	4.6	5.5	6.4	7.8	8.9	9.3	10.4
13.	Х	5.1	5.2	5.3	5.4	5.5	5.6	5.7	5.8	5.9	6.0
Y	4.1	9.3	12.5	17.6	21.5	25.4	29.7	30.9	35.5	40.4
14.	Х	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5	3.6	3.7	3.8	3.9	4.0
Y	1.02	2.25	3.46	4.57	5.45	6.35	7.77	8.82	9.25	10.3
15.	Х	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
Y	10.2	12.3	18.6	19.7	20.5	19.4	17.8	16.9	15.3	13.4
16.	Х
Y	12.1	11.3	9.56	7.67	8.55	8.45	8.32	8.16	8.05	8.00
17.	Х
Y	1.12	2.35	3.56	4.67	5.55	6.45	7.87	8.92	9.35	10.43
18.	Х	9.1	9.0	8.9	8.8	8.7	8.6	8.5	8.4	8.3	8.2
Y	10.2	12.3	18.6	19.7	20.5	19.4	17.8	16.9	15.3	13.4
19.	Х	8.1	8.0	7.9	7.8	7.7	7.6	7.5	7.4	7.3	7.2
Y	1.2	1.3	1.6	1.7	2.5	2.4	1.8	1.7	1.3	1.2
20.	Х	0.1	10.2	20.3	30.4	40.5	50.6	60.7	70.8	80.9
Y	4.13	9.32	12.5	17.6	21.5	25.4	29.7	30.9	35.5	40.4

21.	Х	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	2.0
Y	14.1	9.32	8.25	7.62	5.15	4.34	2.79	3.09	2.55	0.345
22.	Х	0.1	1.2	2.3	3.4	4.5	5.6	6.7	7.8	8.9
Y	5.1	9.3	13.5	17.6	21.5	25.4	29.7	31.9	36.5	40.4
23.	Х	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
Y	24.1	19.3	12.5	7.6	2.5	0.4	2.7	8.9	15.5	24.4
24.	Х	-4	-2
Y	4.1	9.3	8.5	12.6	10.5	15.4	19.7	17.9	25.5	24.4
25.	Х	1.0	2.2	3.4	4.6	5.8	7.0	8.2	9.4	10.6	11.8
Y	5.1	8.3	9.5	17.6	19.5	25.4	26.7	30.9	32.5	40.4
26.	Х	1.1	2.1	3.1	4.2	5.3	6.3	7.4	8.4	9.5	10.6
Y	3.1	9.3	10.5	17.6	19.5	25.4	27.7	30.9	31.5	41.4
27.	Х	1.2	2.3	3.5	4.6	5.8	6.9	8.0	9.2	10.9	12.0
Y	2.1	8.3	11.5	16.6	22.5	26.4	29.7	33.9	38.5	42.4
28.	Х	0.11	0.22	0.33	0.44	0.55	0.66	0.77	0.88	0.99	1.1
Y	3.1	8.3	11.5	16.6	20.5	24.4	28.7	30.9	34.5	41.4
29.	Х	0.2	10.3	20.4	30.2	40.7	50.5	60.6	70.9	80.7	90.5
Y	14.1	19.3	22.5	27.6	31.5	35.4	39.7	40.9	45.5	50.4
30.	Х	1.2	2.3	3.5	4.6	5.8	6.9	8.0	9.2	10.9	12.0
Y	14.3	19.2	22.7	27.9	31.6	35.8	39.9	41.9	45.8	52.4
31.	Х
Y	4.0	9.2	11.5	15.6	20.5	25.3	28.7	30.7	34.4	41.2
32.	Х	9.9	9.8	9.7	9.6	9.5	9.4	9.3	9.2	9.1	9.0
Y	3.9	8.3	12.6	17.9	21.8	26.4	29.3	31.3	36.5	39.4
33.	Х	0.11	0.22	0.33	0.44	0.55	0.66	0.77	0.88	0.99	1.1
Y	22.1	19.1	12.3	7.9	2.3	0.12	-2.7	-8.7	-15.6	-24.8
34.	Х	0.5	1.0	2.0	3.5	4.0	5.5	6.0	7.5	8.8	9.9
Y	3.1	8.3	12.5	17.6	21.5	25.4	29.7	30.9	35.5	40.4
35.	Х	0.7	1.6	2.3	3.7	4.8	5.0	6.0	7.4	8.7	9.7
Y	2.1	7.3	12.5	17.6	22.	28.4	29.7	32.9	35.5	44.3
36.	Х
Y	14.1	13.3	12.5	11.6	10.5	10.4	9.72	8.09	7.53	6.42
37.	Х
Y
38.	Х
Y
39.	Х
Y	3.1	4.3	9.5	12.6	19.5	27.4	35.7	40.9	45.5	54.4
40.	Х
Y	54.1	49.3	32.5	27.6	11.5	5.4	19.7	20.9	25.5	30.4
41.	Х
Y	14.1	13.3	15.5	14.6	13.5	12.4	11.7	13.9	15.5	20.4
42.	Х
Y	4.1	3.3	2.5	1.6	2.5	5.4	9.7	10.9	9.5	8.4
43.	Х
Y	12.1	19.3	31.5	27.6	25.5	26.4	29.7	30.9	35.5	40.4
44.	Х
Y	7.1	9.3	12.5	17.6	21.5	15.4	12.7	10.9	5.5	0.4

Форма записи отчета в лабораторном журнале:

Дата: ___. Занятие № __. Тема: «Анализ данных». Вариант ___.

a) a = 12.33±0.12 b = 0.334±0.009

Коэффициент корреляции R=0.876

б) DН_П = 1.34*10⁴ Дж/моль; DS_П=88.8 Дж/(моль*К)

в) Степень полинома (оптимальная) m=4

дисперсия адекватности (минимальная) = 9.36

г) Степень полинома (оптимальная) m=4

дисперсия адекватности (минимальная) = 9.36

Варианты творческих заданий

1. Рассмотрите частный случай приведения общей задачи аппроксимации к СЛАУ при использовании функции, описывающей зависимость теплоемкости индивидуального вещества С_р от температуры в виде:

(18)

Экспериментальные данные для теплоемкостей индивидуальных веществ можно взять из справочника [6]. Полученные коэффициенты а,b,с,с’ сравните с данными справочника [7].

2. Рассмотрите еще один частный случай приведения общей задачи аппроксимации к СЛАУ при решении задачи множественной регрессии с использованием аппроксимирующей функции в виде:

y_i = c₁x _{1 i} + c₂x _{2 i} + c₃x _{3 i} +...+ c_k x _{k i} (19)

В этом случае экспериментальные данные для y_i находятся в соответствии с k столбцами х_i (табл. 3).

Таблица 3

Таблица данных для множественной регрессии

Дата добавления: 2015-07-19