Диэлектрики в электрическом поле

(Примеры решения задач)

1) Между обкладками плоского заряженного конденсатора поместили параллельно им незаряженную стеклянную пластину. На поверхностях стеклянной пластины появились заряды Q ₁ и Q ₂.

Укажите ошибочные утверждения:

а)	заряды Q 1 и Q 2 называются сторонними зарядами;
б)	Q 1>0;
в)	Q 1+ Q 2=0;
г)	векторы напряженности внутри стеклянной пластины и вне пластины направлены в противоположные стороны.

Ответ а, б, г. Заряды Q ₁ и Q ₂ появились на поверхностях пластины в результате поляризации стекла в поле заряженного конденсатора, они принадлежат молекулам пластины и называются связанными зарядами. Полярность заряда Q ₁ отрицательна, так как против поля смещаются отрицательные заряды. Пластина из однородного и изотропного диэлектрика (стекло – аморфный материал) размещена между эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов (конденсатора), поэтому поле внутри пластины коллинеарно полю .

2) Векторы смещения и напряженности в одной и той же точке диэлектрика связаны соотношением , если диэлектрик:

а)	однородный и изотропный;
б)	однородный и анизотропный;
в)	неоднородный и изотропный.

Ответ а, в. При не очень сильных полях поляризованность изотропного диэлектрика связана с полем внутри диэлектрика соотношением (см. п. 4). Величины и являются локальными характериками и их пропорциональность соблюдается при не очень сильных полях и для неоднородного вещества. Так как вектор смещения , соотношение , где , верно как для однородного, так и для неоднородного изотропного диэлектрика. При наличии анизотропии вектор , в общем случае, не коллинеарен вектору .

3) Как изменятся потоки векторов напряженности и смещения через замкнутую поверхность S, которая охватывает часть наэлектризованного трением диэлектрика, если включить внешнее электрическое поле?

а)	поток вектора изменится, поток вектора не изменится;
б)	поток вектора изменится, поток вектора не изменится;
в)	оба потока изменятся.

Ответ а. При электризации трением на поверхности диэлектрика появились сторонние заряды и соответствующие им связанные заряды. Если включить внешнее поле, поверхностная концентрация связанных зарядов в результате поляризации изменится. Это приведет к изменению потока вектора , так как он определяется алгебраической суммой всех зарядов внутри поверхности S. Поток вектора зависит только от сторонних зарядов и останется прежним.

4) К границе раздела двух диэлектриков прилегает воображаемая замкнутая поверхность A в виде бесконечно тонкого прямого цилиндра с площадью основания S. На границе отсутствуют сторонние заряды. Если и - векторы напряженности электрического поля вблизи границы в первом и втором диэлектриках, и - проекции этих векторов на нормаль к границе раздела, то:

а)	поток через замкнутую поверхность A равен ;
б)	поток через замкнутую поверхность A равен ;
в)	поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела .

Ответ б, в. Поток через поверхность A складывается из потока вектора через верхнее основание цилиндра и потока вектора через нижнее основание. Поток через боковую поверхность равен нулю, так как цилиндр бесконечно тонкий. В соответствии с определением и , где - единичный вектор внешней по отношению к поверхности A нормали к нижнему основанию цилиндра. Поэтому . В соответствии с теоремой Гаусса для вектора величина равна сумме всех зарядов внутри поверхности A, деленной на .

По условию сторонние заряды отсутствуют, а сумма связанных зарядов равна . В результате .

5) Точки 1 и 2 примыкают к границе раздела двух различных диэлектриков и расположены по разные стороны от нее. Сторонние заряды на границе раздела отсутствуют. Сплошной стрелкой указан вектор смещения электрического поля в точке 1.

Укажите правильное направление векторов напряженности и смещения в точке 2.

Ответ. Направление Б соответствует вектору . Это следует из условия непрерывности нормальной составляющей вектора на границе раздела двух диэлектриков в отсутствие сторонних зарядов.

6) В однородном изотропном диэлектрике проницаемости объемные плотности сторонних и связанных зарядов удовлетворяют уравнениям:

а)	, ;
б)	, .

Ответ а. Первая формула в варианте а) – это формулировка теоремы Гаусса для поля в локальной форме. Вторая формула варианта а) следует из теоремы Гаусса для вектора , если диэлектрик однородный и изотропный. Для однородного диэлектрика и диэлектрическую проницаемость можно вынести за знак " ", для изотропного диэлектрика справедливо соотношение .

Пример 1. Поле в диэлектрике. Поверхностный связанный заряд.

Точечный заряд q находится в центре шарового слоя из однородного изотропного диэлектрика. Внутренний и внешний радиусы слоя равны и . Проницаемость диэлектрика . Внутри и вне слоя .

Определите:

а) модуль E вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра слоя (постройте график зависимости E (r));

б) связанные заряды и на внутренней и внешней поверхностях слоя.

Решение:

Чтобы определить зависимость E (r), найдем предварительно величину электрического смещения D (r). Для этого воспользуемся теоремой Гаусса для вектора (см. п. 8). С учетом сферической симметрии распределения вещества диэлектрика относительно заряда, электрические поля смещения и напряженности также являются сферически симметричными. Поэтому поток поля смещения через сферическую поверхность произвольного радиуса r с центром в точке нахождения заряда равен . Откуда получим для любых значений r как внутри так и вне диэлектрика.

Для изотропных диэлектриков (см. п. 9), поэтому:

вне диэлектрика при r<r ₁ и r>r ₂ и

внутри диэлектрика при r ₁ <r<r ₂.

График зависимости E (r) приведен на рисунке.

б) Величины связанных зарядов найдем, применив теорему Гаусса для вектора : .

В областях вне диэлектрика для любой сферической поверхности получим:

и, соответственно, -полный связанный заряд внутри поверхности. Внутри диэлектрика: и не зависит от r. По условию задачи диэлектрик однороден и изотропен, внутри него отсутствуют сторонние заряды. Поэтому (см. п. 6) заряд локализован на внутренней поверхности диэлектрического слоя.

Из условия электронейтральности диэлектрика следует, что величину положительного связанного заряда на внешней границе слоя определяет соотношение: .

Пример 2. Граничные условия. Поверхностная плотность связанного заряда.

Точка 1 расположена в диэлектрике проницаемости , очень близко к границе раздела с другим диэлектриком, проницаемость которого . В точке 1 вектор напряженности составляет угол с нормалью к границе раздела, а модуль этого вектора в/м. Считая, что на границе раздела отсутствуют сторонние заряды, определите величину поверхностной плотности связанных зарядов вблизи точки 1.

Решение:

Величина может быть определена исходя из граничных условий для вектора поляризованности (см. п. 7):

.

Так как для изотропного диэлектрика справедливо соотношение:

,

.

Чтобы определить E _{2 n}, воспользуемся условием непрерывности нормальной составляющей вектора индукции на границе раздела двух диэлектриков в случае отсутствия сторонних зарядов (см. п. 10). При этом

D _{1 n} = D _{2 n} и .

В результате получим:

.

Знак зависит от соотношения между и , для представленных на рисунке данных .

Пример3. Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Объемная плотность связанного заряда.

В некоторой области однородного изотропного диэлектрика проницаемости вектор напряженности электрического поля зависит от координат x, y, z прямоугольной системы координат по закону , где - известная постоянная; , - орты осей. Определите объемные плотности стороннего и связанного заряда в данной области.

Решение:

Дифференциальная форма теоремы Гаусса для векторов напряженности и смещения устанавливает связь дивергенции этих полей с объемными плотностями зарядов в заданной точке пространства: , .

Для однородного и изотропного диэлектрика справедливо соотношение: .

Для данного примера:

.

Решение задачи сводится к системе уравнений:

.

Объемные плотности и равны:

,

.

Пример 4. Заряженные диэлектрики. Плоская пластина.

Сторонние заряды однородно распределены с объемной плотностью по бесконечно большой пластине толщиной 2 d из изотропного диэлектрика, проницаемость которого зависит от координаты x по закону (ось X перпендикулярна пластине, x = 0 в середине пластины). Считая, что пластина находится в вакууме, определите:

a)	модуль вектора напряженности E внутри пластины как функцию координаты x;
б)	поверхностную плотность связанного заряда на поверхности пластины.

Решение:

Так как нам известно распределение только сторонних зарядов, воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D. Из соображений симметрии ясно, что в середине пластины как E, так и D равны нулю, а во всех остальных точках эти векторы перпендикулярны поверхности пластины. Возьмем в качестве замкнутой поверхности прямой цилиндр высотой x с площадью основания S, одно основание которого лежит в средней плоскости пластины. Тогда поток поля электрического смещения через замкнутую поверхность гауссова цилиндра будет определяться потоком через основание, удаленное от срединной плоскости на расстояние x:

,

.

Соответствующие зависимости E_x (x) и приведены на рис.

Согласно п. 7:

Этот результат справедлив для обеих поверхностей пластины. Таким образом, если сторонний заряд , то на обеих поверхностях пластины выступит также положительный связанный заряд. В соответствии с условием электронейтральности отрицательный связанный заряд распределен в объеме пластины.

Пример 5. Заряженные диэлектрики. Цилиндр.

Сторонние заряды однородно распределены с объемной плотностью r > 0 по цилиндру радиуса R из изотропного диэлектрика, проницаемость e которого зависит от расстояния r до оси цилиндра по закону , где a и b - постоянные. Цилиндр находится в вакууме. Пренебрегая краевыми эффектами, определите:

а) модуль вектора напряженности внутри цилиндра как функцию расстояния r до его оси;

б) поверхностную плотность связанного заряда на поверхности цилиндра.

Решение:

Учтя симметрию задачи, можно сделать вывод, что вектор E направлен вдоль радиуса цилиндра. Применим теорему Гаусса для вектора D к замкнутой поверхности в виде цилиндра радиуса соосного цилиндру радиуса R. Высота цилиндра радиуса r равна H и основания перпендикулярны оси цилиндра радиуса R.

Поток вектора через основания равен нулю, через боковую поверхность:

.

Так как внутри цилиндра диэлектрик изотропен, .

В результате получим:

,

.

Для расчета применим соотношение:

,

.

Пример 6. Сила взаимодействия.

Вдали от точечного заряда Q расположена тонкая диэлектрическая пластинка площади S, причем линейные размеры пластинки много меньше расстояния l между нею и зарядом. Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на заряд. Толщина пластинки d, диэлектрическая проницаемость e. Найдите силу, с которой пластинка притягивается к заряду.

Решение:

Для определенности считаем . В результате поляризации диэлектрика в поле заряда Q на поверхностях пластинки появится связанный заряд. Поверхностная плотность отрицательного связанного заряда, расположенного на ближней к заряду Q поверхности, равна , положительного . Из условия электронейтральности следует, что: .

Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на заряд и . Эти исходные данные позволяют считать, что пластинка приблизительно заполняет объем между двумя эквипотенциальными поверхностями поля E ₀ стороннего заряда Q и напряженность в диэлектрике определена соотношением:

.

Зная величину E, можно найти :

.

Сила притяжения пластины к заряду Q связана с разностью сил кулоновского притяжения зарядов к заряду Q и кулоновского отталкивания зарядов от заряда Q.

Отметим, что этот результат можно также получить, рассматривая пластинку как диполь, имеющий электрический момент

,

находящийся в поле стороннего заряда Q. Известно, что сила, действующая на диполь, равна:

,

где частная производная берется по направлению, совпадающему с вектором P.

В нашем случае вектор P параллелен вектору E ₀ и . Из найденных выражений для P и следует полученный ранее результат для силы F.

Дата добавления: 2015-07-19