Степенная функция и графическое решение уравнений и неравенств

Благодаря открытию метода координат и аналитической геометрии начинай с XVII в. стало возможным общеприменимое графическое исследование функций и графическое решение уравнений.

Степенной функцией называют функцию вида

, (1)

где α— постоянное вещественное число. Вначале мы ограничимся, однако, лишь рациональными значениями α и вместо равенства (1) запишем:

, (2)

где — рациональное число. Для и по определению соответственно имеем:

у =1, у =х.

Графиком первой из этих функций на плоскости является прямая, параллельная оси Ох, а второй — биссектриса 1-го и 3-го координатных углов.

При графиком функций является парабола . Декарт, который первое неизвестное обозначал через z, второе — через у, третье — через x:, записывал уравнение параболы так: (z — абсцисса). Параболой он часто пользовался для решения уравнений. Чтобы решить, например, уравнение 4-й степени

(3)

Декарт с помощью подстановки

(4)

получил квадратное уравнение с двумя неизвестными:

(5)

изображающее окружность, расположенную в одной плоскости (zх) с параболой (4). Таким образом, Декарт, вводя вторую неизвестную (х), разбивает уравнение (3) на два уравнения (4) и (5), каждое из которых представляет определенное геометрическое место точек. Ординаты точек их пересечения и дают корни уравнения (3).

Притча:

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.

Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».

И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание

Показатель (Степень)

Какими словами можно объединить слова:

Рациональное число

Целое число

Натуральное число

Иррациональное число (Действительное число)

Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

Задачи:

– повторить свойства степени

– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений

– отработка вычислительных навыков.

Итак, а^р, где р – число действительное.

Приведите примеры (выберете из выражений 5^–2, , 43, ) степени

– с натуральным показателем

– с целым показателем

– с рациональным показателем

– с иррациональным показателем

При каких значениях а имеет смысл выражение

аⁿ, где n (а – любое)

а^m, где m (а не равно 0) Как от степени с отрицательным показателем перейти к степени с положительным показателем?

, где p , q (а > 0)

Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

При умножении степеней с равными основаниями	Основания умножаются, а показатель остаётся прежним
При делении степеней с равными основаниями	Основания делятся, а показатель остаётся прежним
При возведении степени в степень	Основание остаётся прежним, а показатели умножаются
При умножении степеней с равными показателями	Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются
При делении степеней с равными показателями	Основание остаётся прежним, а показатели складываются

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

А математика способна достичь всех этих целей»

– Так сказал американский математик Морис Клайн.

Вариант 1

Вариант 2

Дата добавления: 2015-07-16