Пример 4 (прод.)

Декодировать полученное слово [011010111010010], которое было отправлено после кодирования кодом из первой части примера 4. Соответствующий вектору [011010111010010] многочлен

x + x² + x⁴ + x⁶ + x⁷ + x⁸ + x¹⁰ + x¹³

Найдем многочлен-синдром, (напомню, что g(x) = 1 + x⁴ + x⁶ + x⁷ + x⁸).

x + x² + x⁴ + x⁶ + x⁷ + x⁸ + x¹⁰ + x¹³ (mod 1 + x⁴ + x⁶ + x⁷ + x⁸) =

x² + x⁶ + x⁸

Для кодового слова синдром, как известно, равен 0. В данном случае это не так, посланное слово было искажено помехой. В соответствии с описанной процедурой декодирования будем вычислять s_i(x) = xⁱ(x² + x⁶ + x⁸)(mod g(x)) для последовательных возрастающих значений i пока не найдем многочлен степени меньшей или равной двум (число ошибок t = 2).

s₁ = xs(x)(mod g(x)) = (x³ + x⁷ + x⁹)(mod g(x)) = x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁷

s₂ = x²s(x)(mod g(x)) = (x⁴ + x⁸ + x¹⁰)(mod g(x)) = 1 + x + x² + x⁵

s₃ = x³s(x)(mod g(x)) = (x⁵ + x⁹ + x¹¹)(mod g(x)) = x + x² + x³ + x⁶

s₄ = x⁴s(x)(mod g(x)) = (x⁶ + x¹⁰ + x¹²)(mod g(x)) = x² + x³ + x⁴ + x⁷

s₅ = x⁵s(x)(mod g(x)) = (x⁷ + x¹¹ + x¹³)(mod g(x)) = 1 + x³ + x⁵ + x⁶ + x⁷

s₆ = x⁶s(x)(mod g(x)) = (x⁸ + x¹² + x¹⁴)(mod g(x)) = x + 1

x + 1 имеет вес 2, поэтому для нахождения многочлена ошибок вычисляем e(x) = x^15-6s₆(x)(mod (1 + xⁿ)) = x⁹(x + 1)(mod (1 + xⁿ)) = x¹⁰ + x⁹.

Итак, если отправленное кодовое слово имеет не более двух ошибок, то оно было таким

(x + x² + x⁴ + x⁶ + x⁷ + x⁸ + x¹⁰ + x¹³) + (x¹⁰ + x⁹) =

x + x² + x⁴ + x⁶ + x⁷ + x⁸ + x⁹ + x¹³

Этот многочлен соответствует вектору [011010111100010]. Чтобы восстановить само сообщение нам надо разделить кодовое слово на ПМ g(x) и получить

x + x² + x⁴ + x⁵,

значит сообщение было [0110110].

Немного подробнее

Дата добавления: 2015-07-16