Сопоставление алгоритмических моделей

Функция называется вычислимой, если имеется алгоритм, вычисляющий ее значение.

Множество называется разрешимым, если имеется алгоритм, который для любого объекта позволяет определить, принадлежит он данному множеству или нет.

Данные определения не являются формально строгими, т.е. не позволяют предсказать, окажется ли некоторая функция вычислимой или нет (или, что тоже самое: как по характеру функции определить, можно ли построить алгоритм для ее вычисления?). По этой причине весьма важным для по­строения теории алгоритмов был тезис Черча, который утверждал, что всякая частично рекурсивная функция является вычислимой. Другими словами, если функцию удалось построить с помощью 'суперпозиции, рекурсии и минимизации из простейших арифметических, то существует алгоритм, ее вычисляющий. Далее последовал тезис Тьюринга, утверждавший, что для всякой вычислимой функции можно построить машину Тьюринга, которая ее вычисляет. Можно доказать, что алгоритмы Поста также сводятся к алгоритмам, реализуемых с помощью частично рекурсивных функций. Справедливо и обратное утверждение. В частности задачи, ре­шенные для машины Поста, являются примером реализации одной из простейших рекурсивных функций - функции непосредственного следования. Позднее была доказана теорема о сводимости одной алгоритмической модели к другой, следствием которой явились утверждения типа: «любую рекурсивную функцию можно вычислить с помощью соответствующей машины Тьюринга» или «для любой задачи, решаемой с помощью машины Тьюринга, существует решающий ее нормачъный алгоритм Маркова». Таким образом, все модели оказываются эквивалентными, в чем виден глубокий смысл, так как результат обработки информации, безусловно, определяется характером функции (алгоритмом) и входными данными, но не зависит от вида алго­ритмической модели.

Проблема алгоритмической разрешимости.

Всякому алгоритму соответствует задача, для решения которой он был построен. Обратное утверждение в общем случае является неверным по двум причинам: во-первых, одна и та же задача может решаться различными алгоритмами; во-вторых, можно предположить (пока), что имеются задачи, для которых алгоритм вообще не может быть построен.

Как уже отмечалось, термин «алгоритм» появился в математике достаточно давно и использовался долго - под ним понималась процедура, позволявшая путем выполнения последовательности определенных элементарных шагов получать однозначный результат, не зависящий от того, кто эти шаги выполнял. Таким обра­зом, само проведенное решение служило доказательством существования алгоритма. Однако был известен целый ряд математических задач, разрешить которые в общем виде не удавалось. Примерами могут послужить три древние геометрические задачи: о трисекции угла, о квадратуре круга и об удвоении куба - ни одна из них не имеет общего способа решения с помощью циркуля и линейки без делений.

Интерес математиков к задачам подобного рода привел к постановке вопроса: возможно ли, не решая задачи, доказать, что она алгоритмически неразрешима, т.е. что нельзя построить алгоритм, который обеспечил бы ее общее решение? Ответ на это вопрос важен, в том числе, и с практической точки зрения, например, бессмысленно пытаться решать задачу на компьютере и разрабатывать для нее программу, если доказано, что она алгоритмически неразрешима. Именно для ответа на данный вопрос и понадобилось сначала дать строгое определение алгоритма, без чего обсуждение его существования просто не имело смысла. Построение такого определения, как уже знаем, привело к появлению формальных алгоритмических систем, что дало возможность математического доказательства неразрешимости ряда проблем. Оно сводится к доказательству невозможности построения рекур­сивной функции, решающей задачу, либо (что эквивалентно) к невозможности построения машины Тьюринга для нее, либо несостоятельности любой (какой-либо) другой модели из представленных в предыдущем пункте. Т.е. задача считается алгоритмически неразрешимой, если не существует машины Тьюринга (или рекурсивной функции, или нормального алгоритма Маркова), которая ее решает. Первые доказательства алгоритмической неразрешимости касались некоторых вопросов логики и самой теории алгоритмов. Оказалось, например, что неразрешима задача установления истинности произвольной формулы исчисления предикатов (т.е. исчисление предикатов неразрешимо) - эта теорема была доказана в 1936 г Черчем.

В 1946-47 гг. А.А. Марков и Э. Пост независимо друг от друга доказали отсутствие алгоритма для распознавания эквивалентности слов в любом ассоциативном исчислении.

В теории алгоритмов к алгоритмически неразрешимой относится «проблема остановки»: можно ли по описанию алгоритма (Q) и входным данным (х) установить, завершится ли выполнение алгоритма результативной остановкой? Эта проблема имеет прозрачную программистскую интерпретацию. Часто ошибки разработки программы приводят к зацикливанию - ситуации, когда цикл не завершается и не происходит завершения работы программы и остановки. Неразрешимость проблемы остановки означает, что нельзя создать общий (т.е. пригодный для любой программы) алгоритм отладки программ. Неразрешимой оказывается и проблема распознавания эквивалентности алгоритмов: нельзя построить алгоритм, который для любых двух алгоритмов (программ) выяснял бы, всегда ли они приводят к одному и тому же результату или нет.результатов: ИСТИНА или ЛОЖЬ. Этот класс можно считать разновидностью первого, поскольку предикат - это функция, принимающая два значения в зависимости от условия. Тем не менее, разделение этих классов задач полезно, так как приводит к двум важным понятиям теории алгоритмов - вычислимая функция и разрешимое множество.

Функция называется вычислимой, если имеется алгоритм, вычисляющий ее значение.

Множество называется разрешимым, если имеется алгоритм, который для любого объекта позволяет определить, принадлежит он данному множеству или нет.

Понятие и применение рекурсивных алгоритмов при решении задач. Сравнение рекурсивных и итерационных алгоритмов. Анализ сложности алгоритмов. Понятие вычислительной сложности (по времени и памяти). Асимптотические верхние и средние оценки для алгоритмов; сравнение алгоритмов по времени и памяти.

Дата добавления: 2015-07-16