Вертикальные асимптоты.

Определение. Если для функции , определенной хотя бы с одной стороны от точки , выполняется по крайней мере одно из условий

или ,

то прямая, заданная уравнением

,

называется вертикальной асимптотой.

Задача. Найти асимптоты функции

.

Решение. Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот.

1. Рассмотрим поведение функции при . Вычислим предел

1.

Найдем предел

,

подставив вычисленное значение :

1.

Таким образом, наклонная асимптота при найдена. Ее уравнение имеет вид

.

2. Рассмотрим поведение функции при . В данном случае нетрудно убедиться, что пределы и существуют и равны тем же значениям, т.е. и . Следовательно, при функция имеет ту же асимптоту, при . Ее уравнение

.

Исследуем теперь функцию на наличие вертикальных асимптот. Заметим, что из определения вертикальной асимптоты следует, что необходимым условием ее существования является разрыв функции. Рассматриваемая функция имеет разрыв в точке . Найдем односторонние пределы в точке разрыва:

,

.

Каждое из этих предельных соотношений указывает на наличие вертикальной асимптоты, определяемой уравнением

.

Знание асимптотических направлений упрощает построение графика функции.

Дата добавления: 2015-07-16