|
Читайте также: |
График [гр. graphikos — начертанный] — 1) чертеж, применяемый для наглядного изображения количественной зависимости разного рода явлений; 2) кривая на плоскости, изображающая зависимость функции от аргумента.
Аргумент [лат. argumentum] — независимая переменная величина.
Функция [лат. functio — исполнение] — зависимая переменная величина, каким- либо образом изменяющаяся по мере изменения аргумента.
Графики представляют собой наиболее простой, удобный и наглядный способ передачи читателю содержания определенного материала, например, характер изменения величины, процесса, явления и т.д. Поскольку графики воспринимаются человеком визуально, то при построении графиков надо в максимальной степени учитывать свойства глаза человека и принимать все меры к тому, чтобы графический материал был бы приятен для глаза, потому что это способствует его правильному восприятию.
Графики являются одним из видов иллюстраций. При их построении в первую очередь надо разумно выбрать размер и соотношение сторон поля чертежа. Руководствоваться здесь следует совокупностью ряда факторов — назначение графика (служит он только иллюстрацией характера зависимости функции от аргумента, или по нему будут определяться числовые значения аргументов и функций), количество кривых в поле чертежа, сложность формы кривых, наличие или отсутствие концентрации и пересечения нескольких кривых в небольшой области поля чертежа, какая часть кривой (горизонтальная или вертикальная) наиболее информативна и важна в каждом конкретном случае, и т.д. В общем случае не стоит выбирать поле чертежа менее 40x40 мм и более размера листа бумаги формата А4. При выходе за эти размеры принятое решение следует хорошо аргументировать.
Графики для отчетов рисуют на белой бумаге или прозрачной кальке. Возможно использование миллиметровой бумаги (удобства ее использования очевидны), но только светло-желтой или светло-оранжевой, поскольку в этом случае велик контраст между светлым фоном и черными линиями, а на черно-белой ксерокопии миллиметровая сетка будет лишь едва-едва просматриваться, и не будет мешать восприятию иллюстрации. Применение голубой или синей миллиметровки недопустимо вследствие малого контраста между голубым (синим) фоном и черными линиями, что сильно затрудняет работу с графиком и может вызвать ошибки.
Построение графиков может быть ручным или компьютерным. Ось абсцисс и ось ординат графика вычерчивают по соответствующему краю поля чертежа сплошными одинарными линиями толщиной около 0,5 мм. На концах координатных осей стрелок не ставят.
Графики, иллюстрирующие экспериментально изученные зависимости, должны быть снабжены координатной сеткой, покрывающей все поле чертежа. Толщина линий координатной сетки должна быть не менее чем в 2 раза меньше толщины координатных осей. Шаг координатной сетки должен быть удобным для работы с графиком, обычно он берется не менее 5 мм.
При ручном построении графиков оси координат и линии координатной сетки, а также сама кривая должны быть выполнены только черной тушью или черными чернилами, использование пасты и карандашей не допускается. Рекомендуется координатную сетку сначала рисовать тонкими карандашными линиями, и обводить их в соответствующих местах тушью только в самом конце работы над графиком.
Обозначение осей, включая саму букву обозначения и, через запятую, размерность величины (например, i, мкА), должны быть с внешней стороны осей координат, вне координатной сетки, но они не должны выходить за концы координатных осей ни по горизонтали, ни по вертикали иллюстрации.
На поле чертежа допускается нанесения кратких поясняющих надписей, но они должны быть расположены так, чтобы не затруднять восприятие изображаемой зависимости и ни в коем случае не только не пересекаться с кривой графика, но даже и не прикасаться к ней. В месте расположения надписи координатная сетка должна отсутствовать (вот почему при ручном построении графиков рекомендуется координатную сетку сначала рисовать тонкими карандашными линиями).
На поле чертежа не должно быть больших свободных участков координатной сетки, которые не заняты кривыми или надписями. Чтобы этого добиться, масштабные метки следует начинать оцифровывать не с нуля по соответствующей оси, а ограничиваться только теми значениями, в пределах которых рассматривается данная функциональная зависимость, если только это не противоречит концепции построения графика. В некоторых случаях целесообразно первую (начальную) оцифрованную масштабную метку на координатной оси сдвинуть на некоторое расстояние от реального начала этой оси.
Количество числовых значений масштабных меток должно быть разумным, т.е. удобным для работы с графиком. В любом случае обязательна оцифровка первой и последней масштабных меток на каждой оси. Обращаем внимание на то, что если обе начальные метки каждой оси оцифровываются нулевыми значениями, то каждый из этих нулей должен быть проставлен на чертеже, замена этих двух нулей одним общим нулем не допустима по причине возможности появления крупных ошибок при восприятии функциональной зависимости.
Многоразрядные числовые значения масштабных меток могут быть указаны двумя способами.
В первом способе они приводятся в виде произведения удобных для восприятия человеком целых чисел на некоторый постоянный множитель, который указывается рядом с буквенным обозначением данной координатной оси. Например, на координатной оси откладывается ток i в амперах, а масштабные метки должны иметь значения: 0,000011, 0,000012, 0,000013, 0,000014 и т.д. Следует эти масштабные метки оцифровывать таким образом: 11, 12, 13, 14 и т.д., а постоянный множитель 10-6 вынести в обозначение конца данной координатной оси и обозначить ее конец так: i ´10-6, А.
Во втором способе для приведения многоразрядных числовых значений масштабных меток к виду, удобному для восприятия человеком, пользуются стандартными приставками для образования дольных и кратных единиц измерений, и в этих единицах измерений обозначают величину, отложенную на оси координат. Применение второго способа в рассмотренном выше примере будет иметь следующий результат: масштабные метки будут иметь ту же саму оцифровку (11,12,13,14 и т.д.), а обозначение конца цифровой оси будет: i, мкА.
Учитывая, что в системе единиц СИ стандартные приставки для образования дольных и кратных единиц перекрывают с большим запасом весь диапазон числовых значений любых величин, употребляемых в технике, второй способ приведения многоразрядных числовых значений масштабных меток к виду, удобному для восприятия человеком, является более предпочтительным.
На фоне координатной сетки чертежа наносятся точки графика (диаметром немного больше толщины линий координатных осей) соответственно известным сопряженным парам значений аргумента и функции, и эти точки соединяются отрезками прямых линий, толщину которых рекомендуется выбирать немного меньше диаметра нанесенных точек (что бы экспериментальные точки были бы отчетливо видны на графике).
В общем случае график, построенный по экспериментальным данным, обычно имеет вид зазубренной кривой (причины этого будут объяснены в следующих частях данного учебного пособия). Если кривая графика не имеет зазубрин, то это почти всегда свидетельствует о недостаточной точности знания истинных значений аргумента и функции.
Для удобства восприятия и анализа изучаемой функциональной зависимости полученный график следует аппроксимировать плавной линией.
Графики, поясняющие лишь принципиальную или теоретическую картину процесса, более просты по построению, обычно они не имеют координатной сетки. Оси координат таких графиков оканчиваются стрелками. Обозначения осей координат должны быть за пределами рамки графика, но не должны выходить за концы координатных осей. Масштабные метки на осях координат не ставятся; на осях координат допускается указание только крайних значений откладываемых величин, часто даже без соблюдения какого-либо масштаба.
Масштабы шкал графиков
Масштаб — отношение длины линии на карте или чертеже к ее длине в действительности.
При построении графиков под масштабом понимают количество единиц откладываемой величины, эквивалентное одному шагу масштабных меток или координатной сетки.
Шаг масштабных меток всегда указывается в каких-либо единицах длины — в миллиметрах, сантиметрах, дюймах, в клеточках координатной сетки, в отрезках определенной длины.
Различают равномерный и функциональный масштабы.
Равномерный масштаб строится на основе арифметической прогрессии, т.е. числового ряда, в котором числовое значение каждого члена на определенное количество принятых единиц больше или меньше числового значения соседних членов. Примеры равномерного масштаба: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д.; 200, 400, 600, 800, 1000 и т.д.; 15, 18, 21, 24, 27 и т.д.; 35, 36, 37, 38, 39, 40 и т.д.
Шаг масштабных меток в каждом конкретном случае должен выбираться таким, чтобы им было удобно пользоваться, в частности, чтобы при необходимости его было бы удобно делить на нужное количество частей (чаще всего на 2, на 3, на 4, на 5, на 10). Следует избегать, в общем случае, дробных значений шага, например, 1,7, 2,3, 3,14, 5,9, 11,35, 57,73, 149,29 и т.п..
Свойства равномерного масштаба:
1) если функция и аргумент связаны прямо пропорциональной зависимостью, то при использовании равномерных масштабов по обеим осям график этой функциональной зависимости имеет вид прямой линии, наклоненной под некоторым углом к оси абсцисс;
2) если изучаемая зависимость между аргументом и функцией не является прямо пропорциональной, а диапазон изменения значений аргумента весьма широк, но откладывается на оси абсцисс в равномерном масштабе, то график этой функциональной зависимости будет сжат (в направлении, параллельном оси абсцисс) при малых значениях аргумента, и одновременно будет растянут при больших значениях аргумента.
Равномерный масштаб обычно используется тогда, когда диапазон значений аргумента не широк.
Функциональными называются такие масштабы, в которых числовые значения соседних масштабных меток изменяются по какому-либо закону, отличающемуся от закона арифметической прогрессии, например, по квадратическому, кубическому, логарифмическому, синусоидальному и т.д.
Отправной точкой введения в практику функциональных масштабов явился ряд идей, из которых для инженерного дела наиболее важны две следующие:
1) В ряде случаев путем подбора соответствующего масштаба одной или обеих координатных осей можно превратить график нелинейной функциональной зависимости в прямую линию.
2) Путем подбора соответствующего масштаба по оси абсцисс можно получить возможность одинаково подробного изучения хода графика в любой точке диапазона изменения его аргумента — от минимального значения до максимального, независимо от его ширины.
Рассмотрим пример реализации первой идеи. Пусть исследуется электронный квадратор, т.е. устройство, реализующее математическую операцию возведения в квадрат входной электрической величины Х: Y = K1 X 
, где Y — выходной электрический сигнал, К1– коэффициент пропорциональности. Требуется оценить точность работы квадратора.
Делается это так. Сначала экспериментально, по точкам, как можно точнее снимают амплитудную характеристику квадратора во всем диапазоне входных сигналов, при этом количество точек должно быть достаточно большим, не менее двух десятков, а точки в данном случае должны быть распределены по диапазону изменения входного сигнала, по понятным причинам, тем чаще, чем больше входной сигнал.
Затем аналитически преобразуют исходное нелинейное уравнение в линейное, изменяя переменные по правилам математики. В данном случае это можно сделать двумя путями: либо сделать замену Х2 = Z и получить уравнение Y = K1 Z, либо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения и сделав замены: 
, получить уравнение Z = K2 X. Выбирают одно из полученных линейных уравнений, например, второе, и рассчитывают соответствующие значения функции Z и коэффициента пропорциональности К2.
Приготавливают лист миллиметровки достаточно большого размера, не менее 200´200 мм (чтобы минимизировать погрешность отложения точек), на него наносят координатные оси, назначают соответствующие равномерные масштабы по обеим осям и оцифровывают масштабные метки. Затем в поле чертежа возможно точнее наносят экспериментальные точки (размером не более трети миллиметра) и их середины соединяют отрезками тонких карандашных линий.
Полученный чертеж берут в руки и ориентируют его относительно глаза (смотрят одним глазом!) таким образом, чтобы линия зрения шла бы вдоль графика. Одним из свойств нашего глаза является то, что он очень хорошо замечает малейшие искривления прямой линии (но практически не замечает довольно большие, порядка десятков процентов, отклонения реального вида различных кривых от их строго теоретического вида). Поэтому при визуальной оценке степени прямолинейности такого искусственно линеаризованного графика очень просто определяется степень соответствия реальной математической связи функции и аргумента предполагаемому теоретическому закону их связи.
Если график кажется прямолинейным, то выносят заключение о высоком качестве квадратора, т.е. о том, что в данном случае, с достаточной для инженерных целей точностью, характеристика квадратора действительно является квадратичной.
Если график в той или иной части отклоняется от прямой, то это свидетельствует о заметной погрешности реализации требуемой характеристики (в данном случае квадратичной). Приложив к графику линейку и определив разницу ординат реального и теоретического (линейного) графиков можно рассчитать количественно погрешность реализации заданной нелинейной характеристики.
Вторая идея наиболее просто реализуется при использовании так называемого логарифмического масштаба.
Логарифмическим называется такой масштаб, когда вдоль координатной оси откладываются не сами числовые значения физической величины, а их логарифмы.
В настоящее время в технике наиболее распространены бригговы иначе десятичные (по основанию 10) логарифмы, поэтому только о них и будет идти дальше речь.
Чтобы легче освоить логарифмический масштаб, следует четко представлять некоторые специфичные свойства логарифмов.
При использовании логарифмического масштаба широко применяется понятие “декада”. Декадой называется такой отрезок числовой оси от Xmin до Xmax, в котором эти числа отличаются на порядок, т.е. Xmax : Xmin = 10. Обычно условно первой декадой называют числовой отрезок от 1 до 10 (т.е. отсчет ведут от цифры 1), второй декадой — от 10 до 100, третьей декадой — от 100 до 1000 и т.д.; также условно отрезок числовой оси от 1 до 0,1 называют минус первой декадой, отрезок числовой оси от 0.1 до 0.01 называют минус второй декадой, отрезок числовой оси от 0,01 до 0,001называют минус третьей декадой и т.д..Десятичный логарифм декады по определению равен единице, т.е. в логарифмическом масштабе декада есть логарифмическая единица. Декада может делиться на любое целое число “к” равных частей, имеющих величину 
. Например, половина декады (к=2) равна 
, треть декады (к=3) равна 
и т.д. Произведение всех к-тых частей декады равно 10. (В некоторых областях техники, например, в акустике, вместо декады пользуются понятием “октава”. Октавой называется такой отрезок числовой оси от Xmin до Xmax, в котором эти числа отличаются в два раза, т.е. Xmax : Xmin = 2. Октава также может делиться на любое целое число “к ” равных частей, имеющих величину 
. Например, половина октавы (к=2) равна 
, треть октавы (к=3) равна 
и т.д. Произведение к-тых частей октавы равно 2.).
Любое число Y, большее единицы, в десятичной системе счисления может быть представлено в виде Y = W 10n-1,где W – соответствующее целое или дробное десятичное число первой декады, n – номер декады, в которой находится число Y. Например, число 2 (находящееся в первой декаде), можно представить как 2 101-1=2 100, число 60 (находящееся во второй декаде) – как 6 102-1=6 101, число 200 – как 2 102, число 3160 – как 3,160 103, число 75340 – как 7,5340 104.
Любое числоY, меньшее единицы, в десятичной системе счисления может быть представлено в виде Y = W 10n. Например, число0,2 (находящееся в первой декаде слева от 1) – как 2 10-1, число 0,02 (находящееся во второй декаде слева от 1) – как 2 10-2, число 0,00316 (находящееся в третьей декаде слева от 1) – как 3,16 10-3.
Как известно, логарифм любого числа состоит из двух частей: из (левой) целой части - характеристики, и из (правой) дробной части - мантиссы. Характеристика десятичного логарифма, представляющая собой цифру, на единицу меньшую количества знаков в целой части числа, показывает, в какой декаде находится данное число. Мантисса, представляющая собой десятичную дробь, показывает точное место числа в данной декаде. Поэтому, каким бы большим или малым не было бы число Y=W10n-1 или Y=W10n, в какой бы декаде числовой оси оно бы ни находилось, но если его первая часть (W) представлена целым или дробным числом первой декады, то после логарифмирования мантисса числа Y равна десятичному логарифму числа W, т.е. она одинакова для любых декад – это есть фундаментальное положение для построения логарифмического масштаба.
Логарифмические масштабы по осям абсцисс и ординат строятся по-разному.
Ось абсцисс строится следующим образом.
Сначала соответственно максимальному Xmax и минимальному Xminзначениям аргумента определяется, сколько декад должно быть отложено на оси абсцисс.
Если Xmax и Xmin находятся внутри одной декады, на оси абсцисс откладывается одна декада или ее необходимая часть. Если Xmax и Xminотносятся к разным декадам, на оси абсцисс откладывается требуемое количество декад или их необходимых частей. В любом случае если требующаяся часть декады больше ее половины, то рекомендуется вместо этой части декады брать полную декаду – это резко облегчает построение и восприятие графика.
Проиллюстрируем изложенное примером. Пусть по оси абсцисс откладывается перемещение от Xmin = 15 мкм = 0,015 мм до Xmax = 60 мм. Очевидно, что Xmax относится ко второй декаде справа от 1, а Xmin — ко второй декаде слева от 1, т.е. по оси абсцисс должно быть отложено 4 декады. Поскольку значения Xmax и Xmin не совпадают с обычно принятыми границами декад, оценим, какую долю первой (по счету слева направо) и последней декад занимает диапазон значений аргумента.
Учитывая свойства логарифмов – логарифм произведения равен сумме логарифмов, определяем: lgXmin = lg0,015=lg(1,5 10-2) = lg1,5 + lg(10-2) = (» 0,18) + (-2)» -1,82, т.е. отсчитывая влево от 1 (поскольку lg1 = 0, и этот нуль является точкой отсчета логарифмических единиц), аргумент занимает»1,82 геометрической длины декад. Отсюда следует, что в крайней левой декаде (т.е. в первой по счету слева направо), используется» 82% геометрической длины декады, поэтому слева от 1 следует отложить две целые декады. Аналогично lgXmax = lg60 = lg(6 101) = lg6+ lg(101) = (» 0,78) + 1» 1,78, т.е. отсчитывая вправо от 1 (т.е. от нуля логарифмических единиц), аргумент занимает»1,78 геометрической длины декад. Отсюда следует, что в крайней правой декаде (т.е. в последней по счету слева направо), используется» 78% геометрической длины декады, поэтому справа от 1 также следует отложить две целые декады.
Итого на координатной оси в данном примере следует отложить четыре целые декады, в пределах которых “комфортно” уляжется весь диапазон значений аргумента от 15 мкм до 60 мм. Для удобства в данном примере точкой начала отсчета декад следует принять крайнюю левую точку координатной оси.
Как же должна быть обозначена координатная ось и как должны быть оцифрованы масштабные метки, соответствующие границам декад, а также метки внутри декад, например, Xmin и Xmax?
На координатной оси откладываются логарифмы аргумента, поэтому, строго формально, координатная ось должна быть обозначена ” lgX ”, без указания размерности, поскольку логарифм, по определению, всегда является безразмерным числом (обозначение ”lgX, мм”, есть грубая ошибка). Масштабные метки на границах декад должны иметь оцифровку, соответствующую логарифмам числовых значений этих границ. В рассматриваемом примере это будут следующие цифры (отсчитываемые слева направо): -2, -1, 0, 1, 2. Метка, соответствующая Xmin = 15 мкм, будет иметь оцифровку –1,82, а метка, соответствующая Xmax = 60 мм, будет иметь оцифровку +1,78. Теоретически строгий вид координатной оси в логарифмическом масштабе для условий данного примера приведен на рис. 5.
Очевидно, что теоретически строгий вид координатной оси в логарифмическом масштабе крайне неудобен для практического использования: во-первых, глядя на эту ось, невозможно определить размерность аргумента, если только в поле чертежа нет поясняющей надписи; во-вторых, и это главное, все время придется в уме переводить реальные значения аргумента в их логарифмы и обратно, что весьма хлопотно в промежуточных точках на оси.
Рис.5 Теоретически строгий вид координатной оси в логарифмическом масштабе
Чтобы избежать указанных трудностей, договорились о следующем. На координатной оси реально откладывают логарифмы соответствующих значений аргумента, но эти точки оцифровываются теми значениями аргумента, логарифмы которых откладываются. Координатная ось обозначается соответствующим обозначением данного аргумента без указания символа логарифма, и указывается использованная размерность данного аргумента, например, Х, мм; f, Гц; i, мкА и т.д. Общепринятый вид той же самой координатной оси в логарифмическом масштабе приведен на рис. 6.
Рис.6 Общепринятый вид координатной оси в логарифмическом масштабе
Выше было отмечено, что положение масштабных меток соответствующих чисел внутри каждой декады, т.е. внутри одной логарифмической единицы (ЛЕ), абсолютно одинаково, поэтому рассмотрим процесс их нанесения внутри только одной декады, для простоты — первой, а геометрическую длину декады примем для удобства работы большой: 1 ЛЕ = 100 мм (рис. 7).
Рис.7 Иллюстрация процесса нанесения масштабных меток внутри одной декады
Логарифмы целых чисел первой декады: lg1 = 0, lg2» 0,3, lg3» 0,48, lg4» 0,6, lg5» 0,7, lg6» 0,78, lg7» 0,85, lg8» 0,9, lg9» 0,95, lg10 = 1,0. На координатной оси откладываются отрезки соответствующей длины, и полученные точки оцифровываются числами, которые соответствуют этим логарифмам. Метку “1,5” обычно не наносят на координатную ось, особенно если геометрическая длина декады невелика; здесь эта метка (lg1,5» 0,18 ЛЕ) нанесена как пример нанесения на ось метки дробного числа.
Оцифровка меток других декад отличается только тем, что числовые значения меток изменяются на соответствующее количество порядков, например, метка, соответствующая логарифму числа 2, будет иметь оцифровку в последующих декадах, соответственно, 20, 200, 2000 и т.д., а в предыдущих декадах, соответственно, 0,2, 0,02, 0,002 и т.д.
При заданной длине координатной оси Lоси, например, 125 мм, геометрическая длина одной декады Lд зависит от количества декад m, которые должны быть размещены на этой оси: Lд = Lоси/m, например, при m = 4 Lд = Lоси:m = 125:4» 31 мм. Полученное число является нечетным, неудобным в работе, поэтому его целесообразно округлить до ближайшего четного, удобного для масштабирования, например, взять Lд = 30 мм. Соответственно назначенной геометрической длине декады изменятся и геометрические расстояния меток от начала декады, но их длины, выраженные в долях от длины декады, всегда останутся неизменными.
Одним из свойств логарифмов является такое: lg0 = - ¥, что графически изобразить невозможно. Поэтому, если Хmin = 0 и данное обстоятельство принципиально важно отобразить на графике, то поступать можно следующим образом. На оси абсцисс, немного отступив вправо от ее физического начала, наносят метку “0” (нуль), затем сплошную ось абсцисс прерывают на некоторой небольшой длине, изображают ее штриховой линией, а далее снова изображают сплошной и разбивают на декады, начиная с некоторых малых (по смыслу задачи) значений аргумента. Например, если Хmin = 0 мм, а Хmax = 60 мм, то вид оси абсцисс будет следующим (рис. 8).
Рис.8 Иллюстрация построения оси абсцисс в логарифмическом масштабе в случае, когда
минимальное значение аргумента равно нулю
Ось ординат в логарифмическом масштабе строится следующим образом.
Значения функции по оси ординат откладываются не в их единицах измерений (миллиметрах, амперах, вольтах, градусах и т.п.), а в искусственных математических единицах – децибелах (дБ), являющихся десятой долей бела (Б).
История появления этих единиц такая. В конце 19 века стала бурно внедряться в практику электрическая энергия и тогда возникла проблема сравнения мощностей различных источников электрической энергии и мощности различных потребителей электроэнергии, заключающаяся в том, что часто эти соотношения характеризовались слишком большими числами, оперировать которыми было очень неудобно. Тогда вспомнили, что свойством логарифмов является уменьшение числового значения очень больших соотношений, и потому было предложено характеризовать соотношение мощностей источников или потребителей электроэнергии не абсолютным значением отношения мощностей Р1/Р2, а логарифмом этого отношения lg(Р1/Р2).
Единица логарифмического отношения мощностей получила название “бел” в честь изобретателя телефона. Одному белу соответствует отношение мощностей, равное 10:
N = lg [(Р1/Р2 )=10] = 1 Б.
Постепенно выяснилось, что бел – очень крупная единица, удобнее оказалось пользоваться десятыми частями бела – децибелами (дБ), и потому выражение для определения соотношения мощностей приобрело следующий вид: N = 10 lg(Р1/Р2), дБ.
В децибелах оказалось удобно выражать и соотношения других параметров электрической энергии – тока и напряжения, но при этом множитель “10” перед логарифмом изменился, поскольку мощность и ток (и напряжение) связаны квадратичной зависимостью: P = i2 R, где R – сопротивление нагрузки. Мощности источников (и потребителей) энергии логично сравнивать при одинаковых сопротивлениях нагрузок, поэтому
, дБ
Аналогичное выражение получается и для соотношения напряжений.
Вследствие удобства выражения соотношений величин через децибелы их постепенно стали использовать и для оценки соотношений интенсивностей (значений) прочих величин, в том числе и неэлектрических.
Когда соотношение (X1/X2) > 1, то логарифм этого числа положителен, когда же (X1/X2) < 1, то логарифм отрицателен, и вычислять его хлопотно. Удобней сделать так: если отношение (X1/X2) < 1, то проще определить логарифм обратного отношения X2/X1, а полученному результату приписать знак “минус”, потому что абсолютное значение логарифма будет одним и тем же. Например, X1= 10, а X2 =20. Тогда X1/X2 = 10/20 = 0,5, lg0,5 = lg(5 10-1) = lg5 + lg(10-1) = 0,699 - 1 = -0,301. Если же взять обратное соотношение X2/X1 = 2, lg2 = 0,301, т.е. получаем ту же самую цифру, только с другим знаком, зато процесс вычисления резко упрощается.
Принципиально в децибелах можно выражать только соотношение величин, но поскольку децибелами очень удобно оперировать, в этих единицах нередко выражают и абсолютные значения величин, используя то обстоятельство, что любое число X можно представить в виде X/1, числовое значение от этого не изменится. Тогда lg(X/1) = lgX – lg1 = lgX – 0 = lgX. Такой прием широко распространен в теории автоматического управления, радиоэлектронике и ряде других областей науки и техники.
Как правило, ось ординат в логарифмическом масштабе обозначается тем условным обозначением, которое принято для данной функции, с указанием, через запятую, единицы “дБ”, например, U, дБ; X, дБ; K, дБ и т.п. Масштабные метки на оси ординат обычно наносятся в равномерном масштабе и оцифровываются соответствующим числом децибел.
Значению величины X, равному единице (X = 1), соответствует нуль шкалы децибел, т.к. lg1 = 0. Поэтому знаки меток на оси ординат в логарифмическом масштабе могут быть как “плюс”, так и “минус”, в зависимости от значения откладываемой величины. Метку “0, дБ” откладывать можно в любом месте оси ординат (на любой высоте, отсчитанной от точки ее физического начала) – там, где это удобно для построения и восприятия графика.
Формальными признаками применения логарифмического масштаба для построения какой-либо координатной оси являются следующие:
1) наличие на координатной оси масштабных меток, числовые значения которых отличаются на порядок (в 10 раз), и равные линейные расстояния между ними;
2) своеобразное распределение масштабных меток на координатной оси внутри декад и соответствующих им линий координатной сетки — разреженное в начале декады и постепенно сгущающееся по мере приближения к концу декады;
3) оцифровка меток координатной сетки в децибелах.
Для идентификации логарифмического масштаба достаточно наличия хотя бы одного из этих признаков.
Все логарифмические масштабы характеризуются следующей совокупностью свойств:
1) имеется возможность одинаково подробно и одновременно рассмотреть особенности хода графика во всех областях значений аргумента, как при очень малых, так и при очень больших;
2) относительная погрешность определения координаты какой-либо точки графика одинакова вдоль всей оси, построенной в логарифмическом масштабе, и определяется соотношением геометрического размера точки на графике в направлении, параллельном данной оси, и геометрической длины соответствующей декады;
3) графики ряда сложных математических выражений могут превратиться в отрезки прямых линий, если обе оси построены в логарифмических масштабах;
4) принципиально невозможно отложить на логарифмических осях точки, соответствующие нулевому значению аргумента и (или) функции, т.к. lg0 = -¥ (при необходимости иметь эти точки приходится прибегать к искусственным приемам – см. выше);
5) при использовании логарифмических масштабов по обеим осям график прямо пропорциональной зависимости имеет вид отрезка прямой линии.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 79 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Основы построения таблиц | | | Приложение к |