Сравнение дисперсий выборок более двух

Рассмотрим теперь вопрос о сравнении нескольких дисперсий , имеющих числа степеней свободы . Требуется выяснить, являются ли числа оценками одной и той же генеральной дисперсии. Сразу же напрашивается мысль использовать F - распределение — сравнить, например, сначала и , затем и и т.д. Однако такой способ сравнения может привести к ошибочному выводу — сравнивая в один прием лишь две дисперсии, мы лишаем себя всей информации остальных дисперсий.

А ведь то, что невозможно на двух случайных объектах (выборках), может стать вполне возможным на большем их числе (чем больше проводится испытаний, тем более редкие события могут произойти).

Кроме того, незначимые различия, накапливаясь от пары к паре, могут стать вполне значимыми, хотя мы этого не заметим. Разумеется, такой ошибки можно избежать, сравнивая сразу самую большую и самую маленькую дисперсию — если уж они различаются незначимо, то и между промежуточными дисперсиями различий нет. Но и этот вывод справедлив, только если все дисперсии определены по выборкам одинаковых объемов.

Таким образом, с помощью F - критерия удается сравнивать несколько дисперсий только в случае одинаковых чисел степеней свободы у сравниваемых дисперсий. При этом выявить можно только незначимость различий; если же этот критерий показывает, что наибольшая и наименьшая дисперсия различаются значимо, то по отношению ко всем остальным дисперсиям в совокупности вывод о значимом различии может быть неверен. Мы снова сталкиваемся с необходимостью использовать при сравнении полную информацию о всех заданных дисперсиях. Такое квалифицированное сравнение проводится с помощью критерия Бартлета.

Определим вначале средневзвешенную дисперсию

, .

Вычислим величины

,

.

Бартлет показал, что в случае, когда все соответствуют одной генеральной дисперсии, отношение распределено приближенно, как с k—1 степенями свободы, независимо от f_i, лишь бы все . Это значит, что гипотеза о равенстве генеральных дисперсий принимается, если при заданном уровне значимости р; в противном случае различие между дисперсиями нужно считать значимым.

Нетрудно видеть, что всегда С > 1. Поэтому вначале вычисляют только В и сравнивают его с . Если окажется, что , то нулевую гипотезу (гипотезу о равенстве дисперсий) нужно принять, ибо и подавно < .

Если же , то С придется вычислить, применяя затем критерий Бартлета полностью.

Формулы для вычисления В и С несколько упрощаются, если все f_i равны между собой. Однако в этом случае существует более удобный (и более точный) критерий Кохрана. Кохран предложил рассматривать отношение максимальной дисперсии к сумме всех остальных,

,

и нашел распределение величины g. Оказалось, что это распределение зависит только от k и от числа f степеней свободы, по которым определена каждая дисперсия .

Квантили Кохрана приводятся в таблицах для р = 0,05 и 0,01. Если найденное по заданным дисперсиям значение g окажется больше, чем (для выбранного уровня значимости), то нулевую гипотезу нужно отбросить и расхождение между дисперсиями считать значимым.

Рассмотрим следующий пример, связанный с обработкой «текущих измерений» (наиболее типичный случай использования критерия Бартлета). С помощью мостика измеряются электрические сопротивления нескольких проводников. У одних проводников сопротивление мало, у других велико; естественно опасаться, что на разных уровнях сопротивлений мостик обладает разной точностью. Поэтому дисперсии, полученные на разных проводниках, необходимо сравнить.

Данные измерений приведены в таблице 1.1. В этой же таблице приведена часть расчетов для величин В и С.

Таблица 1.1

Номер проводника,	Кол-во степеней свободы,	Дисперсия,
		0,17	13,36	1,2304	7,8432	0,1250
		0,40	4,80	1,6021	5,2252	0,0833
		0,38	6,08	1,5798	7,2768	0,0625
		0,62	9,92	1,7924	4,6784	0,0625
		0,54	5,40	1,7324	3,3240	0,1000
Суммы			27,56		24,3478	0,4333

Приведем остальные расчеты:

, ,

,

.

По таблице квантилей Пирсона находим, что при четырех степенях свободы . Мы видим, что и значит, на уровне значимости р = 0,05 гипотезу о равенстве дисперсий нужно принять. Величина С нам не понадобилась, ее вычисление приведено лишь для иллюстрации.

Критерий Бартлета позволяет в разобранном примере утверждать, что генеральная дисперсия измерений на мостике не зависит от измеряемого сопротивления. Следовательно, для оценки этой дисперсии могут быть использованы все 67 измерений. В качестве оценки нужно взять средневзвешенную дисперсию s², которая у нас уже вычислена и равна 0,444. Этой дисперсии соответствуют 62 степени свободы, в силу чего можно считать, что ; ошибка такой замены при 62 степенях свободы весьма невелика.

Дата добавления: 2015-07-16