Читайте также:
|
Задание 1
С помощью статистических пакетов программ для ЭВМ определяем квантиль нормированного нормального распределения z.
Необходимый объем выборки вычисляется по формуле:
где s2 – генеральная дисперсия; d - заданная абсолютная погрешность; z – квантиль нормированного нормального распределения или такое значение аргумента функции Лапласа, при котором F(z) = g.
При расчете квантиля принимают математическое ожидание а = 0, а дисперсию s2 = 1. Полученный результат округляем до ближайшего большего целого числа.
Задание 2
Предположим, что при проведении n экспериментальных измерений какой-либо величины (например, напряжения на конденсаторе) получен вариационный ряд
x1 £ x2 £ x3…£ xn.
Требуется проверить, не являются ли x1 и xn. промахами, т.е. не выделяются ли слишком резко указанные варианты соответственно в меньшую и в большую сторону от средней величины. Другими словами: относятся ли крайние значения вариационного ряда к имеющейся генеральной совокупности или они возникли из-за грубых случайных ошибок.
Нулевой гипотезой в этом случае является предположение о том, что и xn (или x1) принадлежит той же совокупности, что и остальные n -1 наблюдений. Математически это записывается так:
H0: xn Î N (
,s).
Запись N (,s) обозначает нормальный закон с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением s.
Проверка нулевой гипотезы состоит в том, что xn (или x1) сравнивается по величине с некоторой критической величиной (точкой). При этом xn сравнивается с верхней (правой) границей области допустимых значений, а x1 – с нижней (левой) допустимой границей.
В случае отсеивания максимального значения вариационного ряда критическая область описывается выражением:
P (xn > + z1-a s) = a. (1)
Гипотеза H0 отклоняется в пользу альтернативной гипотезы:
H1: xn Ï N (,s),
если xn попадает в критическую область.
Критическая область для минимального значения описывается выражением:
P (x1 < + z a s) = a. (2)
Заметим, что в силу симметричности относительно нуля нормированного нормального распределения в выражении (1) величина z1-a > 0, в выражении (2) z a< 0, а по модулю эти величины одинаковы.
Пример выполнения лабораторной работы №2
Задание 1
Требуется определить необходимый объем выборки для оценки математического ожидания роста студентов при значениях генеральной дисперсии s2 = 40, предельной погрешности d = 1,5 и надежности g = 0,95.
Решение.
С помощью статистических пакетов программ для ЭВМ определяем квантиль нормированного нормального распределения z = 1,96.
Необходимый объем выборки вычисляется по формуле:
где s2 – генеральная дисперсия; d - заданная абсолютная погрешность; z – квантиль нормированного нормального распределения или такое значение аргумента функции Лапласа, при котором F(z) = g.
При расчете квантиля принимают математическое ожидание а = 0, а дисперсию s2 = 1.
Выполним расчет для конкретных значений данного примера:
Полученный результат округляем до ближайшего большего целого числа.
Таким образом, для точного определения среднего роста студентов с погрешностью 1,5 см и надежностью g = 0,95 при известной дисперсии s2 = 40 см2 необходимо измерить рост у 69 студентов.
Задание 2
Предположим, что при проведении n экспериментальных измерений какой-либо величины (например, напряжения на конденсаторе) получен вариационный ряд
x1 £ x2 £ x3…£ xn.
Требуется проверить, не являются ли x1 и xn. промахами, т.е. не выделяются ли слишком резко указанные варианты соответственно в меньшую и в большую сторону от средней величины. Другими словами: относятся ли крайние значения вариационного ряда к имеющейся генеральной совокупности или они возникли из-за грубых случайных ошибок.
Нулевой гипотезой в этом случае является предположение о том, что и xn (или x1) принадлежит той же совокупности, что и остальные n -1 наблюдений. Математически это записывается так:
H0: xn Î N (,s).
Запись N (,s) обозначает нормальный закон с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением s.
Проверка нулевой гипотезы состоит в том, что xn (или x1) сравнивается по величине с некоторой критической величиной (точкой). При этом xn сравнивается с верхней (правой) границей области допустимых значений, а x1 – с нижней (левой) допустимой границей.
В случае отсеивания максимального значения вариационного ряда критическая область описывается выражением:
P (xn > + z1-a s) = a. (1)
Гипотеза H0 отклоняется в пользу альтернативной гипотезы:
H1: xn Ï N (,s),
если xn попадает в критическую область.
Критическая область для минимального значения описывается выражением:
P (x1 < + z a s) = a. (2)
Заметим, что в силу симметричности относительно нуля нормированного нормального распределения в выражении (1) величина z1-a > 0, в выражении (2) z a< 0, а по модулю эти величины одинаковы.
Перейдем к рассмотрению конкретного примера.
Предположим, что заданы уровень значимости a = 0,015, среднее арифметическое значение = 200, среднее квадратичное отклонение (СКО) s = 10. Требуется определить, являются или нет промахами элементы вариационного ряда xn = 240 и x1 = 180. Считается, что выборка извлечена из нормально распределенной генеральной совокупности.
Решение.
С помощью статистического пакета программ для ЭВМ по заданной величине уровня значимости a = 0,015 находим z a= -2,17.
По формуле (2) находим левую границу допустимой области:
+ t s = 200 – 2,17×10 = 178,3.
Так как 180 > 178,3, то минимальное значение вариационного ряда x1 нельзя считать промахом и нужно принять нулевую гипотезу.
Для определения правой границы допустимой области по величине
p = 1- a = 1 – 0,015 = 0,985 найдем значение z1-a = 2,17.
По формуле (1) находим правую границу допустимой области:
+ z1-a s = 200 +2,17×10 = 221,7.
Соотношение 240 > 221,7 говорит о том, что величина xn = 240 является промахом и по этой причине нулевую гипотезу следует отклонить в пользу альтернативной.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 118 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Задание 2. Выделение промахов | | | Задания на выполнение лабораторной работы |