Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f и a,k,C − постоянные величины.

· ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

· ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

· ∫f(ax)dx=1aF(ax)+C

· ∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C

· Пусть . Тогда . Здесь t (x) - дифференцируемая монотонная функция.
Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что . Заменим независимую переменную t на функцию t = t (x): . Следовательно, функция F (t (x)) является первообразной для произведения , или .

=

Это свойство можно доказать, если рассмотреть дифференциал от произведения функций:

(4.43)

Выразим из (4.43) :

(4.44)

и подставим в левую часть (4.42):

(4.45)

После преобразований получим:

В интервале − π < x < π, это даёт

и после дифференцирования получаем

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками [ x ₀ , x ₁], [ x ₁, x ₂], …, [ x_i -1, x_i ], …, [ x_n -1, x_n ]; длину i -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков[ x_i -1, x_i ] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части [ x_i -1, x_i ], ни от выбора точек , то функция f (x) называется интегрируемой по отрезку [ a, b ], а этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается .
Функция f (x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так:

Дата добавления: 2015-07-16