Формальный язык описания логических элементов.

Законы функционирования логических элементов и логических функций на их основе описываются булевыми (переключательными) функциями [3,25], названными по имени английского математика Джорджа Буля. Входные сигналы являются аргументами, а выходные сигналы соответствуют значениям самой функции. Функция может быть задана таблицей своих значений в зависимости от значений аргументов. Эта таблица называется таблицей истинности. Для двух аргументов Х1 и Х2 функции Y0 – Y15 заданы таблицей 4.

Таблица 4

№ набора					Обозначение и название функции
X1
X2
Y0					Y0 = 0 Константа нуль
Y1					И
Y2					Y2 = X1 X2 Функция запрета по X2
Y3					Y3 = X1 Переменная X1
Y4					Y4 = X2 X1 Функция запрета по X1
Y5					Y5 = X2 Переменная X2
Y6					Исключающее ИЛИ
Y7					ИЛИ
Y8					Y8 = X1 X2 ИЛИ-НЕ операция Пирса
Y9					Y9 = X1 ~ X2 Логическая равнозначность
Y10					Y10 НЕ X2
Y11					Y11 = Импликация от X2 к X1
Y12					НЕ X1
Y13					Y13 = Импликация от X2 к X1
Y14					Y14 = X1 | X2 И-НЕ Операция Шеффера
Y15					Y15 = 1 Константа единица

Совокупность значений аргументов называется набором и нумерация наборов обычно начинается с 0, то есть набор Х1=0 и Х2=0 называется нулевым, набор Х1=0 и Х2=1 называется первым и так далее. Число независимых наборов n аргументов равно 2n, а число переключательных функций, заданных на этих наборах равно 2 . Переключательные функции Y1 (И), Y7 (ИЛИ), Y10 (НЕ) образуют так называемый функционально-полный набор, который позволяет реализовать любую логическую функцию, заданную в конъюнктивной или дизъюнктивной форме.

Табличная форма задания переключательной функции удобна для описания закона функционирования логической схемы, но не даёт представления о способе её реализации. Для этих целей используются две канонических формы – совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ). Рассмотрим эти формы на примере переключательной функции трёх аргументов, заданной таблицей 5.

Таблица 5

№ набора
A
B
C
F(ABC)

СДНФ называют также записью по единицам. Запишем дизъюнкцию (функцию ИЛИ) произведений аргументов, взятых на тех наборах, где переключательная функция равна 1 (это наборы 0,1,5 и 6) и поставим знаки инверсии над теми аргументами, которые равны 0.. Такая форма представления переключательной функции полностью соответствует исходной таблице, в чём легко убедиться, подставив значения наборов аргументов в полученную функцию.

СКНФ ещё называют записью по нулям. Запишем произведение дизъюнкций аргументов взятых на тех наборах, где переключательная функция равна 0. Это наборы 2,3,4 и 7. Знаки инверсии поставим над теми аргументами, которые равны 1. Эта форма представления переключательной функции также соответствует исходной таблице

Однако, кроме совершенных форм, существуют другие, эквивалентные им сокращённые формы записи переключательных функций. Эти минимальные формы получаются путём преобразования совершенных форм с помощью следующих формул булевой алгебры.

Формулы для конъюнкции Формулы для дизъюнкции

Формулы для инверсии

Операции поглощения: Х поглощает ХУ и Х поглощает (Х U У)

Операции склеивания по переменной У

Правило действия со скобками

Формулы де Моргана

Для булевых функций трёх и четырёх переменных нахождение склеивающихся между собой выражений удобно находить графическим методом с помощью диаграмм Вейча или карт Карно. Диаграмма Вейча представляет собой несколько необычную таблицу, задающую переключательную функцию. Каждой клетке диаграммы соответствует определённый набор значений аргументов. Поэтому диаграмма Вейча для переключательной функции 3-х аргументов содержит 8 клеток, 4-х аргументов – 16, 5-и аргументов – 32 клетки и так далее. Склеивающиеся между собой члены расположены в соседних клетках. Чтобы представить переключательную функцию диаграммой Вейча, следует записать 1 в клетки соответствующие наборам, на которых переключательная функция равна 1, и 0 в остальные клетки. Например, диаграммы Вейча для функции 3-х аргументов, заданной таблицей 5, и произвольной функции 4-х аргументов представлены в таблице 6.

Таблица 6

В диаграмме могут быть склеены 2,4,8,16,…единиц, стоящих в соседних клетках, причём левый и правый, а так же верх и нижний края считаются соседними.

Минимальные формы этих функций будут соответственно равны

В других случаях графическая минимизация переключательных функций осуществляется с помощью карт Карно, представленных в таблице 7.

Таблица 7

В этой карте каждая клетка соответствует набору аргументов, которые обозначены двоичными цифрами, расположенными сверху и сбоку диаграммы, причём при переходе от одной клетки к другой изменяется значение только одного аргумента. Единицы в карте Карно проставляются в клетках, которые соответствуют тем наборам, где переключательная функция равна 1, а в свободные клетки записывают 0. Склеивающиеся дизъюнктивные члены располагаются в соседних клетках. Переключательные функции, заданные картами Карно в таблице 4, имеют следующие минимальные формы

Следует отметить, что хотя единицы в карте Карно и диаграмме Вейча в таблицах 6 и 7 проставлены в тех же местах, но минимальные формы переключательных функций получились разными, так как подобные клетки в диаграммах соответствуют различным наборам аргументов.

Для реализации переключательной функции, заданной таблицей своих значений, используется следующий алгоритм:

- запись переключательной функции в канонической форме СДНФ или СКНФ,

- минимизация переключательной функции,

- представление в форме, удобной для реализации на выбранном функционально полном наборе логических элементов,

- разработка принципиальной схемы.

Условные графические обозначения логических элементов приведены в таблице 8.

Следует запомнить, что при моделировании светящийся индикатор сигнализирует о наличии логической единицы в данном узле схемы, а потухший индикатор – о наличии логического нуля.

При выполнении задания 1 нужно обратить внимание на то, что логическая единица соответствует высокому напряжению на выходе элемента, а логический ноль - низкому уровню напряжения.

Таблица 8

Элемент	Отечественное обозначение	Американский стандарт
И (конъюнктор)
И-НЕ (элемент Шеффера)
ИЛИ (дизъюнктор)
ИЛИ-НЕ (элемента Пирса)
ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (НЕРАВОЗНАЧНОСТЬ)
ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ - НЕ (РАВОЗНАЧНОСТЬ)
ИНВЕРТОР

Дата добавления: 2015-07-16